Modul de calcul rezultă din ceea ce cunoaștem de la înmulțirea numerelor întregi și de la înmulțirea numerelor
raționale pozitive.
| Caz/ mod de calcul | Exemple |
| Dacă x > 0 și y > 0, atunci x · y > 0 și x · y = | x | · | y |. | (+3,5) · (+0,2) = +0,75. Scriem, de regulă, 3,5 · 0,2 = 0,75. |
|
Dacă x > 0 și y < 0, sau x < 0 și y > 0, atunci
x · y < 0 și x · y = –(| x | · | y |). |
(+12) · (–0,2) = –(| +12| · | –0,2 |) = –(12 · 0,2) = –2,4.
(–1,2) · (+2) = –(| –1,2| · | +2 |) = –(1,2 · 2) = –2,4. |
| 0 · x = x · 0 = 0, oricare ar fi numărul rațional x. | 0 · (+3,7) = (+3,7) · 0 = 0; 0 · (–3,5) = (–3,5) · 0 = 0. |
| Dacă x < 0 și y < 0, atunci x · y > 0 și x · y = | x | · | y |. | (–4,2) · (–7,5) = | –4,2 | · | –7,5| = 4,2 · 7,5 = 31,5. (–2) · (–1,9) = | –2 | · | –1,9| = 2 · 1,9 = 3,8. |
Reținem!
Regula semnelor la înmulțirea numerelor raționale
1.
Produsul oricăror două numere raționale, ambele pozitive sau ambele negative este un număr rațional
pozitiv. Dacă x > 0 și y > 0 sau x < 0 și y < 0, atunci x · y > 0.
2.
Produsul oricăror două numere raționale, dintre care unul este pozitiv, iar celălalt este negativ, este un
număr rațional negativ. Dacă x > 0 și y < 0, sau x < 0 și y > 0, atunci x · y < 0.
3.
Modulul produsului a două numere raționale este egal cu produsul modulelor acestora.| x · y | = | x | · | y |,
oricare ar fi numerele raționale x și y.
Știm să aplicăm, identificăm conexiuni
Dacă unul din factori este fracție zecimală periodică, se scriu ambii factori sub formă de fracții ordinare și se
efectuează apoi înmulțirea, având în vedere „regula semnelor la înmulțire”.
În situații de acest fel, se recomandă ca rezultatul înmulțirilor să fie prezentat sub formă de fracție ireductibilă.
Pentru a ușura calculul, se pot face simplificări ale fracțiilor care intervin sau simplificări ale rezultatului.
Înmulțirea numerelor raționale păstrează toate proprietățile înmulțirii numerelor întregi. În plus, numerele
raționale nenule sunt inversabile (așa cum știam din clasa a V-a despre numerele raționale pozitive).
| Proprietatea | În limbajul simbolisticii matematice |
| Înmulțirea numerelor raționale este asociativă. | (x · y) · z = x · (y · z), oricare ar fi x, y, z ∈ℚ. |
| Înmulțirea numerelor raționale este comutativă. | x · y = y · x, oricare ar fi x, y ∈ ℚ. |
| Numărul 1 este element neutru pentru înmulțirea numerelor raționale. | 1 · x = x · 1 = x, oricare ar fi x ∈ ℚ. |
|
Orice număr rațional nenul admite un invers.
Atenție! 0 nu admite invers.
|
Oricare ar fi x ∈ ℚ, x ≠ 0, există numărul rațional 1/x astfel încât x · 1/x = 1/x · x = 1.
|
| Înmulțirea numerelor raționale este distributivă față de adunare și scădere. |
Oricare ar fi x, y, z ∈ ℚ,
x · (y + z) = x · y + x · z și x · (y – z) = x · y – x · z. |
| Pentru compararea și ordonarea numerelor raționale este utilă și proprietatea de monotonie, adică: | |
| Dacă x și y sunt numere raționale, x < y, iar z este număr rațional pozitiv, atunci x · z < y · z. | Dacă x < 2,5, atunci 2 · x < 2 · 2,5, adică 2 · x < 5. |
| Dacă x și y sunt numere raționale, x < y, iar z este număr rațional negativ, atunci x · z > y · z. | Dacă x < –0,5, atunci (–3) · x > (–3) · (–0,5), adică –(3 · x) > +1,5. |
Capitolul 5 • Noțiuni geometrice fundamentale
107