×

Cuprins:

L3
Puterea cu exponent număr întreg a unui număr rațional nenul. Reguli de calcul cu puteri
Descoperim, înțelegem, exemplificăm
Pentru orice număr rațional nenul x și pentru orice număr natural n ≥ 2, puterea a n-a a numărului x se notează xn și se definește prin:
Dacă x este un număr rațional nenul și n este un număr natural nenul, atunci puterea a n-a a numărului rațional x –1 se notează x –n și se numește puterea cu exponent –n a numărului x.
Oricare ar fi x ∈ ℚ, x ≠ 0 și oricare ar fi n ∈ ℕ*,
x−n = (x−1)n sau x-n =
1/x
n.
Dacă x =
a/b
, a∈*,b∈, atunci xn =
a/b
=
an/bn
;
x-1 =
a/b
-1 =
b/a
. iar x-n =
a/b
-n =
b/a
n =
bn/an
.
Convenții: x0 = 1 și x1 = x, oricare ar fi numărul rațional x, x ≠ 0.
0n = 0, oricare ar fi numărul natural n, n ≠ 0. 0S nu are sens!
Exemple.
1. (-1)-1 =
1/-1
= -1; 2. (-1)-4 = ((-1)-1)4 = (-1)4 = 1; 3. (-1)-3 = ((-1)-1)3 = (-1)3 = -1. 4. -
2/5
3 =
23/53
= -
8/125
;
5. 2-4 = (2-1)4 =
1/2
4 =
1/16
; 6.
1/3
-2 =
1/3
-1 2 =
3/1
2 = 32= 9; 7.
3/5
-4 =
3/5
-1 4 =
3/5
4 =
625/81
.
Știm să aplicăm, identificăm conexiuni
Regulile de calcul cu puteri cu exponent întreg ale numerelor raționale sunt similare celor de la puteri cu exponent natural ale numerelor raționale pozitive.
Denumirea regulii Regula și condițiile de aplicare
1. produsul a două puteri care au aceeaşi bază xm ⋅ xn = xm + n , oricare ar fi x ∈ ℚ*și oricare ar fi m, n ∈ ℤ.
2. câtul a două puteri care au aceeaşi bază xm : xn = xm – n, oricare ar fi x ∈ ℚ*și oricare ar fi m, n∈ ℤ.
3. puterea unei puteri (xm)n = xm· n, oricare ar fi x ∈ ℚ*și oricare ar fi m, n∈ ℤ.
4. puterea unui produs (x ⋅ y)m = xm ⋅ ym, oricare ar fi x ∈ ℚ*, y ∈ ℚ* și m∈ ℤ.
Consecință: Dacă x ∈ ℚ* și n∈ ℤ, atunci (–x )n = (–1)n ⋅ xn;
(–x )n = xn, dacă n este par și (–x )n = –xn, dacă n este impar.
5. puterea unui cât (x : y)m = xm : ym, oricare ar fi x, y ∈ ℚ*și oricare ar fi m∈ ℤ.
Rezolvăm și observăm
Calculați în două moduri: a)
2/3
-2; b) (-2) -3;
110
Matematică • Manual pentru clasa a VI-a