4.3. Ecuații de tipul x + a = b; x · a = b; x : a = b, (a ≠ 0); a · x + b = c, unde
a, b, c ∈ ℚ. Probleme care se rezolvă folosind ecuații de acest tip
L1
Ecuații de tipul x + a = b; x · a = b; x : a = b; (a ≠ 0); a · x + b = c,
unde a, b, c ∈ ℚ
Ne amintim
Relația de egalitate, pe mulțimea numerelor raționale, este:
a) reflexivă: Orice număr rațional este egal cu el însuși, adică a = a, oricare ar fi a ∈ ℚ.
b) simetrică: Dacă a, b ∈ ℚ și a = b, atunci b = a.
c) tranzitivă: Dacă a, b, c ∈ ℚ, a = b și b = c, atunci a = c.
Pornind de la o egalitate, folosind operația de adunare, operația de scădere, operația de înmulțire sau operația de împărțire a numerelor raționale, obținem următoarele transformări echivalente:
a) reflexivă: Orice număr rațional este egal cu el însuși, adică a = a, oricare ar fi a ∈ ℚ.
b) simetrică: Dacă a, b ∈ ℚ și a = b, atunci b = a.
c) tranzitivă: Dacă a, b, c ∈ ℚ, a = b și b = c, atunci a = c.
Pornind de la o egalitate, folosind operația de adunare, operația de scădere, operația de înmulțire sau operația de împărțire a numerelor raționale, obținem următoarele transformări echivalente:
Dacă a, b ∈ ℚ și a = b, atunci a + c = b + c și a – c = b – c, oricare ar fi c ∈ ℚ.
Dacă a, b ∈ ℚ și a = b, atunci a · c = b · c, oricare ar fi c ∈ ℚ și a : c = b : c, oricare ar fi c ∈ ℚ, c ≠ 0.
Nu uităm! Împărțirea la 0 nu are sens!
Dacă a, b ∈ ℚ și a = b, atunci a · c = b · c, oricare ar fi c ∈ ℚ și a : c = b : c, oricare ar fi c ∈ ℚ, c ≠ 0.
Nu uităm! Împărțirea la 0 nu are sens!
Rezolvăm și observăm
Cristian este pasionat de prepararea deserturilor. Cadoul de ziua surorii lui va fi un
tortuleț de ciocolată. Ciocolata reprezintă 20% din tort și cântărește 250 g.
a)
Calculați cantitatea de ciocolată de care mai are nevoie, exprimată în g, știind că
are deja 0,150 kg de ciocolată.
b)
Calculați masa tortului pe care îl face Cristian, exprimată în kg.
Rezolvare.
a)
Fie x masa ciocolatei de care mai are nevoie. Atunci, cum 0,150 kg = 150 g, obținem ecuația 150 + x = 250,
cu necunoscuta x, cu soluția x = 250 – 150, deci x = 100 (g).
b)
Fie t masa tortului, exprimată în kg. Masa ciocolatei reprezintă 20% din t. Cum 250 g = 0,25 kg, obținem
ecuația
Cum 0 25 :
=
20/100
· t cu necunoscuta t. Împărțim ambii membri ai ecuației la 20/100
și obținem t = 0,25 :
20/100
.
Cum 0 25 :
20/100
= = 5/4
,rezultă t = 1,250 (kg)
Răspuns: a) Cristian mai are nevoie de 100 g ciocolată.
b) Tortul de ziua surorii lui cântărește 1,250 kg.
Descoperim, înțelegem, exemplificăm
Ne propunem să rezolvăm în mulțimea ℚ sau în submulțimi ale mulțimii ℚ, ecuații care pot fi scrise în una din formele: x + a = b; x · a = b; x : a = b; a ≠ 0 sau a · x + b = c, unde a, b, c ∈ ℚ.
Am notat necunoscuta cu x, dar în probleme, putem folosi orice altă notație. Numerele a, b, c sunt cunoscute și se numesc coeficienți ai termenilor ecuației.
Toate ecuațiile de acest tip se rezolvă prin metoda mersului invers, folosind proprietățile operațiilor cu numere raționale și transformările echivalente ale egalităților, amintite mai sus.
116
Matematică • Manual pentru clasa a VI-a
Transformări înmulțire la egalitate
Apasă butonul Redă şi priveşte cu atenţie.
