Aplicația 1.
Dacă două unghiuri sunt opuse la vârf, atunci acestea sunt congruente.
Demonstrație. Unghiurile AOC și BOD sunt unghiuri opuse la vârf cu semidreptele OA și
OB opuse, deci ∢AOB este alungit.
În același mod, ∢COD este unghi alungit.
Deducem că ∢AOD este suplementar atât cu ∢AOC, cât și cu ∢BOD, adică ∢AOC și ∢BOD au același suplement, prin urmare, ∢AOB ≡ ∢COD.
În același mod, ∢AOD și ∢BOC sunt opuse la vârf și au suplementul comun ∢AOC, deci ∢AOD ≡ ∢BOC.
În același mod, ∢COD este unghi alungit.
Deducem că ∢AOD este suplementar atât cu ∢AOC, cât și cu ∢BOD, adică ∢AOC și ∢BOD au același suplement, prin urmare, ∢AOB ≡ ∢COD.
În același mod, ∢AOD și ∢BOC sunt opuse la vârf și au suplementul comun ∢AOC, deci ∢AOD ≡ ∢BOC.
Aplicație practică.
1.
a)
Desenați dreapta MN și reprezentați punctul O pe segmentul MN.
b)
Precizați, argumentat, măsura fiecăruia dintre unghiurile MON, care se formează de o parte și de alta a
dreptei MN.
c)
Calculați suma măsurilor celor două unghiuri cu vârful în punctul O, formate de o parte și de alta a dreptei MN.
Soluție.
b)
Cele două unghiuri MON sunt alungite, deci fiecare are măsura de 180°.
c)
Suma măsurilor celor două unghiuri este 360°.
2.
În figura alăturată, punctul O este originea comună a semidreptelor OA, OB, OC, OD, OE. În jurul punctului
O, se formează, în acest fel, ∢AOB, ∢BOC, ∢COD, ∢DOE, ∢EOA, cu interioarele
disjuncte. Fiecare punct al planului este situat sau în interiorul unui unghi sau pe
una din laturile unuia dintre ele.
a)
Măsurați, cu ajutorul raportorului, cele cinci unghiuri marcate.
b)
Calculați suma măsurilor unghiurilor: AOB, BOC, COD, DOE, EOA.
Soluție. În desenul nostru:
a)
∢AOB = 30°; ∢BOC = 45°; ∢COD = 65°; ∢DOE = 90°; ∢EOA = 130°.
b)
∢AOB + ∢BOC + ∢COD + ∢DOE + ∢EOA = 30° + 45° + 65°+ 90° + 130°= 360°.
Reținem!
Trei sau mai multe unghiuri se numesc unghiuri în jurul unui punct dacă au vârful comun, au interioarele
disjuncte și fiecare punct al planului este situat sau în interiorul unuia dintre unghiuri sau pe una dintre
semidrepte.
Teoremă:
Suma măsurilor unghiurilor în jurul unui punct este 360°.
Știm să aplicăm, identificăm conexiuni
130
Matematică • Manual pentru clasa a VI-a