Rezolvare.
Aplicația 2. Observați configurațiile de mai jos și stabiliți, argumentat, dacă unghiurile marcate sunt unghiuri
în jurul unui punct.
Punctele A, E și C nu sunt coliniare,
deci semidreptele EA și EC nu sunt
semidrepte opuse.
Concluzie: ∢CED și ∢AEB nu sunt unghiuri opuse la vârf.
Concluzie: ∢CED și ∢AEB nu sunt unghiuri opuse la vârf.
∢POR și ∢PON au o latură comună,
deci nu au ambele laturi perechi
de semidrepte opuse.
Concluzie: ∢POR și ∢PON nu sunt unghiuri opuse la vârf.
Concluzie: ∢POR și ∢PON nu sunt unghiuri opuse la vârf.
Laturile unghiului XOT sunt semidreptele
OX și OT. Laturile unghiului
YOZ sunt semidreptele
OZ (opusă semidreptei OX) și OY
(opusă semidreptei OT).
Concluzie: ∢XOT și ∢ZOY sunt unghiuri opuse la vârf.
Concluzie: ∢XOT și ∢ZOY sunt unghiuri opuse la vârf.
Sunt marcate unghiurile AEB, CED și DEA. Acestea au vârful comun și interioarele
disjuncte, dar există puncte ale planului care nu aparțin nici interiorului unuia dintre
cele trei unghiuri și nici uneia dintre laturi.
Concluzie: ∢AEB, ∢CED și ∢DEA nu sunt unghiuri în jurul punctului E.
Concluzie: ∢AEB, ∢CED și ∢DEA nu sunt unghiuri în jurul punctului E.
Sunt marcate unghiurile XOY, YOZ, ZOT și TOX. Acestea au vârful comun, au interioarele
disjuncte, și fiecare punct din plan aparține interiorului unuia dintre cele patru
unghiuri sau uneia dintre semidrepte.
Concluzie: ∢XOY, ∢YOZ, ∢ZOT și ∢TOX sunt unghiuri în jurul punctului O.
Concluzie: ∢XOY, ∢YOZ, ∢ZOT și ∢TOX sunt unghiuri în jurul punctului O.
Sunt marcate unghiurile AMB, BMC, CMD, DME și EMB.
Interioarele unghiurilor AMB și EMB nu sunt disjuncte (Int∢AMB ⊂ Int∢EMB).
Concluzie: ∢AMB, ∢BMC, ∢CMD, ∢DME și ∢EMB nu sunt unghiuri în jurul punctului M.
Interioarele unghiurilor AMB și EMB nu sunt disjuncte (Int∢AMB ⊂ Int∢EMB).
Concluzie: ∢AMB, ∢BMC, ∢CMD, ∢DME și ∢EMB nu sunt unghiuri în jurul punctului M.
Sunt marcate unghiurile AMB, AMC și BMC.
Interioarele unghiurilor AMB și BMC nu sunt disjuncte. Interioarele unghiurilor AMC și BMC nu sunt disjuncte.
(Int∢AMB ⊂ Int∢BMC și Int∢AMC ⊂ Int∢BMC.)
Există puncte ale planului care nu aparțin nici interiorului unuia dintre cele trei unghiuri și nici uneia dintre laturi.
Concluzie: ∢AMB, ∢BMC, ∢AMC nu sunt unghiuri în jurul punctului M.
Interioarele unghiurilor AMB și BMC nu sunt disjuncte. Interioarele unghiurilor AMC și BMC nu sunt disjuncte.
(Int∢AMB ⊂ Int∢BMC și Int∢AMC ⊂ Int∢BMC.)
Există puncte ale planului care nu aparțin nici interiorului unuia dintre cele trei unghiuri și nici uneia dintre laturi.
Concluzie: ∢AMB, ∢BMC, ∢AMC nu sunt unghiuri în jurul punctului M.
Problemă rezolvată. Dreptele AD, BE și CF se intersectează în punctul O.
Știind că ∢COD = 30° și ∢AOB = 90°, determinați măsurile unghiurilor FOA,
DOE, BOC, EOF.
Soluție. ∢COD și ∢FOA sunt opuse la vârf, deci ∢COD ≡ ∢FOA, de unde
∢FOA = 30°.
Pe de altă parte, ∢AOB și ∢DOE sunt opuse la vârf, deci ∢AOB ≡ ∢DOE, de unde ∢DOE = 90°. ∢BOC și ∢EOF sunt opuse la vârf, deci ∢BOC ≡ ∢EOF.
Pe de altă parte, ∢AOB și ∢DOE sunt opuse la vârf, deci ∢AOB ≡ ∢DOE, de unde ∢DOE = 90°. ∢BOC și ∢EOF sunt opuse la vârf, deci ∢BOC ≡ ∢EOF.
Fie x = ∢BOC = ∢EOF. Cum suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct este 360°, rezultă că
2 · x + 2 · 30° + 2 · 90° = 360°.
Obținem 2 · x + 240° = 360°. Folosind metoda mersului invers, deducem x = 60°, adică ∢BOC = ∢EOF = 60°.
Obținem 2 · x + 240° = 360°. Folosind metoda mersului invers, deducem x = 60°, adică ∢BOC = ∢EOF = 60°.
Capitolul 5 • Noțiuni geometrice fundamentale
131