×

Cuprins:

Rezolvăm și observăm
1.
a) Scrieți elementele comune ale unghiurilor ABC și DBC.
b) Stabiliți dacă interioarele unghiurilor ABC și CBD au puncte comune.
Soluție. Imagine
a) Punctul B este vârf și pentru ∢ABC și pentru ∢DBC, deci B este vârf comun al acestora.
Semidreapta BC este latură atât pentru ∢ABC, cât și pentru ∢DBC, deci este latură comună.
b) Interioarele unghiurilor ABC și DBC sunt incluse în semiplane opuse, deci nu au puncte comune.
Vom spune că ∢ABC și ∢DBC sunt unghiuri adiacente.
2.
a) Scrieți elementele comune ale unghiurilor A′B′C′ și C′B′D′.
b) Stabiliți dacă interioarele unghiurilor A′B′C′ și C′B′D′ au puncte comune.
Soluție. Imagine
a) Punctul B′ este vârf și pentru ∢A′B′C′ și pentru ∢D′B′C′, deci B′ este vârf comun al acestora.
Semidreapta B′C′ este latură atât pentru ∢A′B′C′, cât și pentru ∢D′B′C′, deci B′C′ este latură comună.
b) Interioarele unghiurilor i> A′B′C′ și D′B′C′ sunt incluse în semiplane opuse, deci nu au puncte comune.
Vom spune că ∢A′B′C′ și ∢D′B′C′ sunt unghiuri adiacente.
Reținem!
Două unghiuri proprii se numesc unghiuri adiacente dacă au vârful comun, au o latură comună și interioarele lor sunt disjuncte.
Descoperim, înțelegem, exemplificăm
În cele două cazuri de unghiuri adiacente din problemele de mai sus, observăm:
1. Semidreapta BC, latură comună a unghiurilor adiacente ABC și CBD, este inclusă în interiorul unghiului ABD.
2. Semidreapta B′C′, latură comună a unghiurilor adiacente A′B′C′ și C′B′D′, este inclusă în exteriorul unghiului A′B′D′.
Deducem o procedură de calcul pentru măsura unghiului format de laturile necomune ale celor două unghiuri adiacente.
Aplicația 1. Considerăm unghiurile adiacente AOB și BOC.
1. Identificăm unghiul AOC, format de laturile necomune ale unghiurilor adiacente.
2. Stabilim poziția laturii comune a unghiurilor adiacente, în raport cu interiorul unghiului AOC.
3. Calculăm măsura unghiului AOC, astfel:
a) Dacă semidreapta OB este situată în interiorul unghiului AOC, atunci ∢AOC = ∢AOB + ∢BOC.
Imagine
∢AOC = ∢AOB + ∢BOC;
∢AOC = 75° + 42° = 117°.
b) Dacă semidreapta OB este situată în exteriorul unghiului AOC, atunci ∢AOC = 360° – (∢AOB + ∢BOC).
Imagine
∢AOB, ∢BOC și ∢AOC sunt unghiuri în jurul punctului O, deci
∢AOB +∢BOC + ∢AOC = 360°.
∢AOC = 360° – (105° + 138°) = 117°.
Observație.
Dacă unghiurile AOB, BOC sunt adiacente, iar B ∈ Int(∢AOC), atunci ∢AOC = ∢AOB + ∢BOC.
Dacă unghiurile AOB, BOC sunt adiacente, iar B ∈ Ext(∢AOC), atunci ∢AOC = 360° – (∢AOB + ∢BOC).
134
Matematică • Manual pentru clasa a VI-a