×

Cuprins:

Probleme rezolvate
Problema 1
În configurația alăturată, ∢AOB = 100°, ∢BOC = 52°, ∢AOD = 84°. Determinați măsurile unghiurilor AOC și BOD folosind, dacă este posibil, unghiuri adiacente.
Soluție. Observăm cu ușurință că B∈ Int(∢AOC), deci ∢AOC = ∢AOB + ∢BOC, adică ∢AOC = 100° + 52° = 152°.
Pentru a calcula măsura unghiului propriu BOD, folosind unghiuri adiacente, avem două variante:
Imagine
1. C ∈ Int(∢BOD) și ∢BOD = ∢BOC + ∢COD. Folosind suma măsurilor unghiurilor în jurul unui punct, găsim ∢COD= 124°, apoi ∢BOD = 52° + 124°= 176°.
2. A ∈ Ext(∢BOD) și ∢BOD = 360° – (∢AOD + ∢AOB) = 360° – (84° + 100°) = 176°.
Problema 2
a) Calculați măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor adiacente AOB și BOC, știind că ∢AOB = 70°, ∢BOC = 110°.
b) Arătați că bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare formează un unghi drept.
Soluție.
a) Fie OM bisectoarea unghiului AOB și fie ON bisectoarea unghiului BOC. Atunci,
∢AOM = ∢MOB = ∢AOB : 2 = 70° : 2 = 35°, iar
∢BON = ∢NOC = ∢BOC : 2 = 110° : 2 = 55°.
Cum ∢MOB și ∢BON sunt adiacente, rezultă ∢MON = ∢MOB + ∢BON = 35° + 55° = 90°.
Imagine
b) Fie OM bisectoarea unghiului AOB și fie ON bisectoarea unghiului BOC. Dacă ∢AOB = x°, atunci, ∢BOC = 180°– x°. Atunci, ∢MOB și ∢BON sunt adiacente și ∢MOB = x° : 2, iar ∢BON = (180°– x°) : 2, de unde rezultă ∢MON = ∢MOB + ∢BON = [x° + (180°– x° )] : 2 = 90°.
Imagine
Concluzie: Bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare formează unghi drept.
Reformulare: Unghiurile formate de bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare cu latura lor comună sunt unghiuri complementare.
Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm
1. În imaginea alăturată, sunt reprezentate mai multe unghiuri.
Copiați pe caiete tabelul alăturat și completați în casetele libere litera A, dacă propoziția este adevărată, și litera F, dacă propoziția este falsă.
Imagine
Propoziția A/F
Unghiurile AOB și BOC sunt adiacente.
Unghiurile AOC și COD nu sunt adiacente.
Unghiurile AOB și BOD sunt adiacente.
Unghiurile AOC și BOD sunt adiacente.
Unghiurile AOD și BOC nu sunt adiacente.
136
Matematică • Manual pentru clasa a VI-a