Lucrare practică 1: Tehnică de construcție a paralelei la o dreaptă d, printr-un punct A, exterior dreptei d.

Materiale necesare: caietul de matematică, rigla, echerul, un creion ascuțit.

Etapele de realizare a construcției	*Pasul 1* Plasăm echerul astfel încât una din laturile sale să se suprapună peste dreapta d.	*Pasul 2* Sprijinim rigla de altă latură a echerului astfel încât, dacă translatăm echerul pe rigla nemișcată, latura care s-a sprijinit pe dreapta d să treacă prin punctul A.	*Pasul 3* Cu echerul în această poziție, trasăm dreapta suport a laturii care trece prin punctul A.	*Pasul 4* Notăm dreapta d’, paralelă cu dreapta d, prin punctul A, exterior dreptei d.
Reprezentare geometrică
			d′ ∥ d, A ∈ d′ și A ∉ d

Consultați manualul digital pentru a urmări, dinamic, tehnica de construcție a paralelei la o dreaptă dată, printr-un punct dat, folosind rigla și echerul.

Construcția de mai sus probează intuitiv un adevăr fundamental, numit Axioma paralelelor.

Axioma paralelelor (Axioma lui Euclid)

Printr-un punct exterior unei drepte, se poate construi o singură dreaptă, paralelă cu dreapta dată.

Dicționar

Axiomă = adevăr fundamental care se referă la noțiuni primare, acceptat fără demonstrație

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni

Pornind de la axioma paralelelor, putem demonstra, prin raționament, alte rezultate importante.

Teorema 1. (tranzitivitatea relației de paralelism) Două drepte distincte, paralele cu o a treia, sunt paralele între ele.

Reformulare, în limbajul simbolisticii matematice:

Fie a, b și c drepte distincte. Dacă a ∥ b și b ∥ c, atunci a ∥ c.

Într-o demonstrație, este important să identificăm ipoteza problemei sau a teoremei (datele cunoscute) și concluzia (ceea ce trebuie demonstrat).

Astfel, putem formula afirmația de demonstrat sub forma: „Dacă, ipoteză, atunci, concluzie”.

Din această perspectivă, Teorema 1 poate fi văzută astfel:

Dicționar

Teoremă = afirmație al cărei adevăr este demonstrat prin raționament logic.

Demonstrație = șir de judecăți formulate pe baza datelor inițiale și a informațiilor oferite de alte rezultate, cunoscute deja, prin care este obținută concluzia.

Ipoteză	Concluzie
a ∥ b b ∥ c a ≠ c	a ∥ c

Demonstrație. Știm că a ∥ b, b ∥ c, a ≠ c și dorim să demonstrăm că a ∥ c. Conform Observației 1, dreptele a și c pot fi paralele sau concurente. Să presupunem că a ∦ c.
Atunci, a și c sunt concurente într-un punct M, exterior dreptei b.
Obținem a ∥ b, cu M ∈ a, și c ∥ b, cu M ∈ c, adică prin M, există două paralele distincte la dreapta b, ceea ce contrazice axioma paralelelor. Prin urmare, afirmația a ∦ c este falsă, rămânând adevărată afirmația a ∥ c.

Capitolul 5 • Noțiuni geometrice fundamentale

139

Cuprins:

Construcția paralelei la o dreapta printr-un punct exterior