Teorema 1.
(teorema unghiurilor alterne interne) Dacă două drepte sunt paralele, atunci orice secantă determină
cu acestea unghiuri alterne interne congruente.
Pe baza Teoremei 1, vom putea deduce alte rezultate despre unghiurile determinate de două drepte paralele
cu o secantă.
Teorema 2.
(teorema unghiurilor alterne externe) Dacă două drepte sunt paralele, atunci orice secantă determină
cu acestea unghiuri alterne externe congruente.
Demonstrație. Fie MN ∥ PQ și CD o secantă, astfel încât CD ⋂ MN = {A}
și CD ⋂ PQ = {B}. Unghiurile CAM și QBD sunt unghiuri alterne externe.
Din Teorema 1, rezultă ∢MAB ≡ ∢QBA (alterne interne).
Dar ∢MAB și ∢MAC sunt suplementare, ∢QBA și ∢QBD sunt suplementare, deci ∢MAC și ∢QBD au suplementele congruente, de unde ∢MAC ≡ ∢QBD.
Din Teorema 1, rezultă ∢MAB ≡ ∢QBA (alterne interne).
Dar ∢MAB și ∢MAC sunt suplementare, ∢QBA și ∢QBD sunt suplementare, deci ∢MAC și ∢QBD au suplementele congruente, de unde ∢MAC ≡ ∢QBD.
Temă de portofoliu: Folosind ca model raționamentul de mai sus, demonstrați
că: ∢CAN ≡ ∢DBP.
Perechi de unghiuri alterne externe, congruente: ∢MAC ≡ ∢QBD și ∢CAN ≡ ∢DBP.
Teorema 3.
(teorema unghiurilor corespondente) Dacă două drepte sunt paralele, atunci orice secantă determină
cu acestea unghiuri corespondente congruente.
Demonstrație. ∢NAB este suplementar cu ∢MAB, iar ∢DBQ este suplementar cu
∢QBA. Din Teorema 1, ∢MAB ≡ ∢QBA (alterne interne), deci ∢NAB și ∢DBQ au
suplementele congruente, adică ∢NAB ≡ ∢DBQ.
Temă de portofoliu: Folosind ca model raționamentul de mai sus, demonstrați
că: ∢CAM și ∢ABP; ∢CAN și ∢ABQ; ∢BAM și ∢DBP.
Perechi de unghiuri corespondente, congruente: ∢CAM ≡ ∢ABP, ∢CAN ≡ ∢ABQ, ∢DBP ≡ ∢BAM, ∢NAB ≡ ∢DBQ.
Teorema 4.
(teorema unghiurilor interne, de aceeași parte a secantei) Dacă două drepte sunt paralele, atunci
orice secantă determină cu acestea unghiuri interne de aceeași parte a secantei, suplementare.
Demonstrație. ∢NAB este suplementar cu ∢MAB, iar din Teorema 1,
∢MAB ≡ ∢QBA (unghiuri alterne interne). Atunci, ∢NAB este suplementar cu
∢QBA, adică ∢NAB + ∢QBA = 180°.
Temă de portofoliu: Folosind ca model raționamentul de mai sus, demonstrați
că: ∢MAB + ∢PBA = 180°.
Perechi de unghiuri interne de aceeași parte a secantei, suplementare:
∢NAB este suplementar cu ∢QBA, iar ∢MAB este suplementar cu ∢PBA.
144
Matematică • Manual pentru clasa a VI-a