×

Cuprins:

Teorema 5. (teorema unghiurilor externe de aceeași parte a secantei) Dacă două drepte sunt paralele, atunci orice secantă determină cu acestea unghiuri externe de aceeași parte a secantei suplementare.
Drepte
Demonstrație. ∢NAC este suplementar cu ∢NAB, iar din Teorema 3, ∢NAB ≡ ∢QBD (unghiuri corespondente). Atunci, ∢QBD este suplementar cu ∢NAC, adică ∢NAC + ∢QBD = 180°.
Temă de portofoliu: Folosind ca model raționamentul de mai sus, demonstrați că: ∢MAC + ∢PBD = 180°.
Perechi de unghiuri externe de aceeași parte a secantei, suplementare:
∢NAC este suplementar cu ∢QBD și ∢MAC este suplementar cu ∢PBD.
Observație. În rezolvarea unor probleme de geometrie, de multe ori e nevoie să demonstrăm congruența sau suplementaritatea unor unghiuri. Atunci, căutăm o configurație formată din două drepte paralele tăiate de o secantă, care generează o mulțime de perechi de unghiuri congruente sau suplementare.
Știm să aplicăm, identificăm conexiuni
Pornind de la enunțul unei teoreme, schimbând între ele ipoteza și concluzia, obținem un enunț care, în cazul în care este adevărat, este la rândul său teoremă și se va numi teorema reciprocă a teoremei inițiale.
Considerăm dreptele distincte MN și PQ, tăiate de secanta CD, astfel încât CD ⋂ MN = {A} și CD ⋂ PQ = {B}.
Reciprocele teoremelor de mai sus sunt adevărate și ne oferă condiții suficiente ca dreptele să fie paralele. Aceste teoreme se numesc criterii de paralelism.
Drepte
Dicționar
Criteriu de paralelism = teoremă cu ajutorul căreia demonstrăm că două drepte sunt paralele.
Pentru dreptele distincte MN și PQ, tăiate de secanta CD, unde CD ⋂ MN = {A} și CD ⋂ PQ = {B}, folosind reprezentarea geometrică de mai sus, formulăm reciprocele teoremelor 1-5 și obținem criterii de paralelism.
Criterii de paralelism În limbajul simbolisticii matematice
C1: Dacă două drepte formează cu o secantă o pereche de unghiuri alterne interne congruente, atunci dreptele sunt paralele.
Dacă ∢MAB ≡ ∢QBA, atunci MN ∥ PQ.
Dacă ∢NAB ≡ ∢PBA, atunci MN ∥ PQ.
C2: Dacă două drepte formează cu o secantă o pereche de unghiuri alterne externe congruente, atunci dreptele sunt paralele.
Dacă ∢CAN ≡ ∢PBD, atunci MN ∥ PQ.
Dacă ∢CAM ≡ ∢QBD, atunci MN ∥ PQ.
C3: Dacă două drepte formează cu o secantă o pereche de unghiuri corespondente congruente, atunci dreptele sunt paralele.
Dacă ∢CAN ≡ ∢ABQ, atunci MN ∥ PQ.
Dacă ∢CAM ≡ ∢ABP, atunci MN ∥ PQ.
Dacă ∢MAB ≡ ∢PBD, atunci MN ∥ PQ.
Dacă ∢NAB ≡ ∢QBD, atunci MN ∥ PQ.
C4: Dacă două drepte formează cu o secantă o pereche de unghiuri interne de aceeași parte a secantei suplementare, atunci dreptele sunt paralele.
Dacă ∢MAB + ∢PBA = 180°, atunci MN ∥ PQ.
Dacă ∢NAB ≡ ∢QBA= 180°, atunci MN ∥ PQ.
C5: Dacă două drepte formează cu o secantă o pereche de unghiuri externe de aceeași parte a secantei suplementare, atunci dreptele sunt paralele.
Dacă ∢CAM + ∢PBD = 180°, atunci MN ∥ PQ.
Dacă ∢CAN + ∢QBD= 180°, atunci MN ∥ PQ.
Observație. Criteriile de paralelism ne furnizează o bogăție de instrumente simple și eficiente pentru a demonstra paralelismul a două drepte.
Capitolul 5 • Noțiuni geometrice fundamentale
145

Provocarea 4 (partea I)

Provocarea 4 (partea a II-a)