|
Cub
Descriere:
•
8 vârfuri: A, B, C, D, E, F, G, H
•
6 fețe: ABCD, EFGH, ABFE,
DCGH, BCGF, ADHE
•
Toate fețele cubului sunt
pătrate.
|
|
|
Știm să aplicăm, identificăm conexiuni
Aplicația 1.
Dreapta d intersectează laturile AB, respectiv AC, ale triunghiului ABC,
în punctele M respectiv N.
Știind că d ∥ BC, demonstrați că ∢AMN ≡ ∢ABC și ∢ANM ≡ ∢ACB.
Rezolvare explicită.
Dreapta AB este secantă a dreptelor paralele d și BC, iar
AB ⋂ d = {M}. Atunci, unghiurile AMN și ABC sunt unghiuri corespondente.
Cum MN ∥ BC, rezultă ∢AMN ≡ ∢ABC.
Dreapta AC este secantă a dreptelor paralele d și BC, iar
AC ⋂ d = {N}. Atunci, unghiurile ANM și ACB sunt unghiuri corespondente.
Din teorema unghiurilor corespondente, rezultă ∢ANM ≡ ∢ACB.
Rezolvare succintă.
d ∥ BC
AB secantă
AB secantă
⇒ ∢AMN și ∢ABC
sunt unghiuri corespondente congruente
⇒ ∢AMN ≡ ∢ABC
sunt unghiuri corespondente congruente
⇒ ∢AMN ≡ ∢ABC
Demonstrați, analog, că ∢ANM ≡ ACB.
Aplicația 2.
Paralelogramul are două perechi de laturi opuse paralele.
a)
Demonstrați că unghiurile alăturate ale paralelogramului sunt
suplementare.
b)
Demonstrați că unghiurile opuse ale paralelogramului sunt
congruente.
Rezolvare explicită.
Fie MNPQ paralelogram. Atunci: MN ∥ PQ și MQ ∥ NP.
a)
Sunt patru perechi de unghiuri alăturate: ∢M și ∢N, ∢N și ∢P,
∢P și ∢Q, ∢M și ∢Q.
Model. Dreapta MQ este secantă pentru dreptele paralele MN și PQ.
Atunci, unghiurile M și Q sunt interne de aceeași parte a secantei și
sunt suplementare, deci ∢M + ∢Q = 180°.
Folosind modelul prezentat, demonstrați că
∢M + ∢N = ∢N + ∢P = ∢P + ∢Q = 180°.
∢M + ∢N = ∢N + ∢P = ∢P + ∢Q = 180°.
b)
Paralelogramul are două perechi de unghiuri opuse: ∢M și ∢P;
∢N și ∢Q. Din subpunctul a), rezultă ∢M + ∢N = 180° (unghiuri
alăturate în paralelogram) și ∢N + ∢P = 180° (unghiuri alăturate
în paralelogram). Deducem că ∢M și ∢P au același suplement,
deci sunt congruente, adică ∢M ≡ ∢P.
Folosind justificarea de mai sus, demonstrați că ∢N ≡ ∢Q.
Rezolvare succintă.
MNPQ paralelogram ⇒ MN ∥ PQ și
MQ ∥ NP.
a)
MN ∥ PQ
MQ secantă
MQ secantă
⇒ ∢M și ∢Q
interne de aceeași parte
a secantei suplementare
⇒ ∢M + ∢Q = 180°.
interne de aceeași parte
a secantei suplementare
⇒ ∢M + ∢Q = 180°.
b)
MNPQ paralelogram
∢M, ∢N alăturate
∢N, ∢Q alăturate
∢M, ∢N alăturate
∢N, ∢Q alăturate
⇒ ∢M + ∢N = 180° și
∢N + ∢P = 180°,
deci ∢M ≡ ∢P.
∢N + ∢P = 180°,
deci ∢M ≡ ∢P.
148
Matematică • Manual pentru clasa a VI-a