Aplicația 3.
În figura alăturată, dreptele d1 și d2 sunt paralele cu laturile AB, respectiv
BC, ale unghiul ABC.
Folosind notațiile din imagine:
a)
Identificați, în reprezentarea geometrică, două perechi de
drepte paralele, tăiate de câte o secantă.
b)
Demonstrați că ∢DMP ≡ ∢ABC.
c)
Demonstrați că ∢DMQ este suplementar cu ∢ABC.
Rezolvare explicită.
a)
AB ∥ DM cu secanta BC; BC ∥ PQ cu secanta DM.
b)
Secanta BC determină cu dreptele paralele AB și DM unghiurile
alterne interne ∢ABC și ∢BDM, deci ∢ABC ≡ ∢BDM.
Secanta DM determină cu dreptele paralele BC și PQ unghiurile alterne interne ∢BDM și ∢DMP, deci ∢BDM ≡ ∢DMP.
Am obținut ∢ABC ≡ ∢BDM și ∢BDM ≡ ∢DMP, deci ∢ABC ≡ ∢DMP.
Secanta DM determină cu dreptele paralele BC și PQ unghiurile alterne interne ∢BDM și ∢DMP, deci ∢BDM ≡ ∢DMP.
Am obținut ∢ABC ≡ ∢BDM și ∢BDM ≡ ∢DMP, deci ∢ABC ≡ ∢DMP.
c)
Secanta BC determină cu dreptele paralele AB și DM unghiurile
interne de aceeași parte a secantei ∢ABC și ∢BDF, deci
∢ABC + ∢BDF = 180°.
Atunci, ∢ABC + ∢QMD = ∢ABC + ∢BDF = 180°.
Am demonstrat mai sus următorul rezultat:
Observație. Orice două unghiuri cu laturile respectiv paralele sunt
congruente sau suplementare.
Rezolvare succintă.
b)
AB ∥ DM
BC secantă
BC secantă
⇒ ∢ABC și ∢BDM
(alterne interne)
(alterne interne)
(1)
BC ∥ PQ
DM secantă
DM secantă
⇒ ∢BDM și ∢PMD
(alterne interne)
(alterne interne)
(2)
Din (1) și (2), ⇒ ∢ABC ≡ ∢PMD.
c)
AB ∥ DM
BC secantă
BC secantă
⇒ ∢ABC + ∢BDF = 180°
(interne de aceeași parte a secantei)
(interne de aceeași parte a secantei)
(3)
BC ∥ PQ
DM secantă
DM secantă
⇒ ∢BDF ≡ ∢QMD
(corespondente)
(corespondente)
(4)
Din (3) și (4), ⇒ ∢ABC + ∢QMD = 180°.
Aplicația 4.
Considerăm cunoscut faptul că dreptunghiul are un unghi drept.
Verificați, folosind unghiul drept al echerului, validitatea afirmației.
Considerăm, de asemenea, cunoscut faptul că laturile opuse ale dreptunghiului
sunt paralele. Demonstrați că toate unghiurile dreptunghiului
sunt drepte.
Rezolvare.
Fie ∢A = 90°. Din BC ∥ AD, cu secanta AB, rezultă că ∢A și ∢B sunt interne de aceeași parte a secantei
suplementare, deci ∢B = 180° – ∢A = 90°. Din AB ∥ CD cu secanta AD, rezultă că ∢A și ∢D sunt interne
de aceeași parte a secantei suplementare, deci ∢D = 180° – ∢A = 90°. Folosind aceleași paralele cu secanta BC,
rezultă că ∢B și ∢C sunt interne de aceeași parte a secantei suplementare, adică ∢C = 180° – ∢B = 90°.
Provocare! Rezolvați această problemă, folosind aplicația 2 și faptul că orice dreptunghi este paralelogram.
Aplicația 5.
În desenul alăturat este reprezentat un cub și semidreapta BP.
Știind că punctele A, B, P sunt coliniare, demonstrați că ∢PBC = 90° și ∢PBF = 90°.
Știind că punctele A, B, P sunt coliniare, demonstrați că ∢PBC = 90° și ∢PBF = 90°.
Rezolvare.
Cu dreptele AB ∥ CD, secanta BC formează unghiurile alterne interne ∢DCB
și ∢PBC, deci ∢PBC = ∢DCB = 90°.
Analog, dreptele AE ∥ BF, formează cu secanta AB unghiurile corespondente ∢EAB și ∢FBP, deci ∢PBF =∢EAB = 90°.
Analog, dreptele AE ∥ BF, formează cu secanta AB unghiurile corespondente ∢EAB și ∢FBP, deci ∢PBF =∢EAB = 90°.
Capitolul 5 • Noțiuni geometrice fundamentale
149