Relații între mulțimi

Rezolvăm și observăm

Considerăm mulțimea A, a numerelor naturale impare, mai mici decât 13, mulțimea B, a numerelor naturale impare și mulțimea C = {1, 3, 5, 7, 9, 11}.

a) Scrieți mulțimea A prin enumerarea elementelor. b) Pentru mulțimile A și C, stabiliți dacă există elemente care aparțin uneia dintre mulțimi și nu aparțin și celeilalte.	Soluție a) Numerele naturale impare, mai mici decât 13 sunt: 1, 3, 5, 7, 9, 11, deci A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}. b) Cum C = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, deducem că cele două mulțimi au exact aceleași elemente.
Despre mulțimile A și C vom spune că sunt egale.
c) Pentru mulțimile A și B, stabiliți dacă există elemente care aparțin uneia dintre mulțimi și nu aparțin și celeilalte.	c) Dacă un element aparține mulțimii A, atunci acesta este impar, deci aparține și mulțimii B. Pe de altă parte, numărul 27 este impar, adică aparține mulțimii B, dar nu aparține mulțimii A. Prin urmare, există elemente ale mulțimii B care nu aparțin mulțimii A.
Vom spune că: ◆ mulțimea A este inclusă în mulțimea B sau că mulțimea B include mulțimea A sau că mulțimea A este submulțime sau parte a mulțimii B. ◆ mulțimea B nu este inclusă în mulțimea A sau că mulțimea A nu include mulțimea B.

Descoperim, înțelegem, exemplificăm

Două mulțimi sunt egale dacă au aceleași elemente. Dacă A şi B sunt două mulțimi egale, scriem A = B.	Dacă A este mulțimea cifrelor în baza 10 și B este mulțimea numerelor naturale mai mici decât 10, atunci A = B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Dacă A şi B nu sunt egale, scriem A ≠ B.	Dacă A este mulțimea cifrelor în baza 2, iar B = {0, 1, 2}, atunci A = {0, 1} și nu conține elementul 2, deci A ≠ B.
Mulțimea A este inclusă în mulțimea B dacă toate elementele mulțimii A sunt și elemente ale mulțimii B. Dacă mulțimea A este inclusă în mulțimea B, scriem A ⊂ B; Mulțimea A se numește submulțime sau parte a mulțimii B.	∅ ⊂ M, oricare ar fi mulțimea M. M ⊂ M, oricare ar fi mulțimea M. Toate elementele mulțimii A = {0, 1} sunt și elemente ale mulțimii B = {0, 1, 2}, deci A ⊂ B, iar A este submulțime a mulțimii B.
Dacă mulțimea A nu este inclusă în mulțimea B, scriem A ⊄ B.	Pentru mulțimile A = {a, 2, c} și B = {a, c, 7}, 2 ∈ A, dar 2 ∉ B, deci A ⊄ B. 7 ∈ B, dar 7 ∉ A, deci B ⊄ A.

Observații.

Dacă mulțimea A este inclusă în mulțimea B, mai spunem și că mulțimea B include mulțimea A și scriem B ⊃ A.
Dacă A nu este inclusă în mulțimea B, mai spunem și că mulțimea B nu include mulțimea A și scriem B ⊅ A.

Capitolul 1 • Mulțimi. Mulțimea numerelor naturale

Cuprins: