Aplicația 6.
Configurația alăturată reprezintă desfășurarea în plan a unui paralelipiped
dreptunghic. Folosind notațiile din reprezentare, demonstrați
că:
a)
punctele A, B, C sunt coliniare;
b)
punctele E, F, G sunt coliniare;
c)
AE ∥ CG;
d)
∢GAC = ∢AGE.
Rezolvare explicită.
a)
Model: ABFE și BCGF provin din fețele paralelipipedului dreptunghic,
deci sunt dreptunghiuri și au toate unghiurile drepte.
Atunci, ∢ABF și ∢CBF sunt adiacente suplementare, deci
∢ABC = 180° și A, B, C sunt coliniare.
b)
Folosind modelul de la subpunctul a) scrieți o demonstrație
similară pentru b).
c)
Din AE ∥ BF și BF ∥ CG, rezultă AE ∥ CG.
d)
Din a) și b), ACGE dreptunghi. Considerăm AG secantă pentru
dreptele paralele AC și EG. Atunci, ∢GAC și ∢AGE sunt unghiuri
alterne interne congruente, deci ∢GAC = ∢AGE.
Rezolvare succintă.
a)
ABFE și BCGF dreptunghiuri
⇒ ∢ABF = ∢CBF = 90°.
∢ABF și ∢CBF adiacente și
∢ABF + ∢CBF = 180°, rezultă
∢ABC = 180°, deci A, B, C sunt coliniare.
⇒ ∢ABF = ∢CBF = 90°.
∢ABF și ∢CBF adiacente și
∢ABF + ∢CBF = 180°, rezultă
∢ABC = 180°, deci A, B, C sunt coliniare.
b)
Analog demonstrăm coliniaritatea punctelor E, F și G.
c)
AE ∥ BF
BF ∥ CG
BF ∥ CG
⇒ AE ∥ CG.
d)
AC ∥ EG
AG secantă
AG secantă
⇒ ∢GAC ≡ ∢AGE
(alterne interne),
deci ∢GAC = ∢AGE
(alterne interne),
deci ∢GAC = ∢AGE
Aplicația 7.
ABCDEF este un hexagon (poligon cu șase laturi). Toate unghiurile sale
sunt congruente, cu măsura de 120°, iar AO, BO, CO, DO, EO, FO sunt,
respectiv, bisectoarele unghiurilor hexagonului. Demonstrați că:
a)
dreptele OC și AB sunt paralele;
b)
punctele C, O, F sunt coliniare;
c)
dreptele DE și AB sunt paralele.
Rezolvare completă.
a)
Din ipoteză, unghiurile ABC și BCD sunt congruente și au măsura
de 120°. Semidreapta CO este bisectoarea unghiului BCD, deci
unghiurile OCB și OCD sunt congruente, fiecare având măsura
60°.
Pentru dreptele AB și OC, dreapta BC este secantă și formează unghiurile OCB și ABC, interne de aceeași parte a secantei suplementare (∢OCB + ∢ABC = 180°). Rezultă, folosind criteriul de paralelism C4, AB ∥ OC.
Pentru dreptele AB și OC, dreapta BC este secantă și formează unghiurile OCB și ABC, interne de aceeași parte a secantei suplementare (∢OCB + ∢ABC = 180°). Rezultă, folosind criteriul de paralelism C4, AB ∥ OC.
b)
Analog, pentru AB și OF, dreapta AF este secantă și formează
unghiurile OFA și BAF, interne de aceeași parte a secantei suplementare
(∢OFA + ∢BAF = 180°). Rezultă AB ∥ OF. Am obținut
OC ∥ AB ∥ OF, adică, folosind axioma lui Euclid, O, F, C sunt coliniare.
c)
Printr-un raționament similar se demonstrează că ED ∥ OF.
Atunci, din ED ∥ OF și AB ∥ OF, rezultă ED ∥ AB.
Rezolvare succintă.
∢ABC = ∢BCD =120° și CO bisectoare
⇒ ∢OCB ≡ ∢OCD și
∢OCB = ∢OCD = 60°.
⇒ ∢OCB ≡ ∢OCD și
∢OCB = ∢OCD = 60°.
a)
∢ABC + ∢OCB = 120° + 60° = 180°,
iar ∢OCB și ∢ABC interne de aceeași
parte a secantei BC, pentru AB și
OC. Rezultă AB ∥ OC.
b)
∢BAF + ∢OFA =120° + 60° = 180°, iar ∢OFA și ∢BAF interne de aceeași parte a secantei AF, pentru AB și OF.
Rezultă AB ∥ OF. Cum OF || AB || OC rezultă O, F, C coliniare.
Rezultă AB ∥ OF. Cum OF || AB || OC rezultă O, F, C coliniare.
c)
Similar, ED ∥ OF. Atunci, din
ED ∥ OF și AB ∥ OF, rezultă ED ∥ AB.
150
Matematică • Manual pentru clasa a VI-a
