5.3. Drepte perpendiculare în plan
L1
Drepte perpendiculare în plan. Distanța de la un punct la o dreaptă
Rezolvăm și observăm
În imaginea alăturată, dreptele a și b sunt dreptele suport ale tijelor
metalice pe care s-au construit cele patru palete ale morii de vânt.
Știind că unghiurile formate de oricare două palete alăturate sunt
congruente, determinați unghiul format de dreptele a și b.
Soluție. Fie {O} = a ⋂ b. Semidreptele determinate de punctul O pe
cele două drepte formează patru unghiuri congruente în jurul punctului
O. Cum suma unghiurilor în jurul unui punct este 360°, rezultă
că cele patru unghiuri au fiecare câte 90°, deci dreptele a și b formează un
unghi drept. Vom spune că a și b sunt perpendiculare.
Descoperim, înțelegem, exemplificăm
|
Definiție
Dreptele a și b sunt perpendiculare dacă acestea formează un unghi drept. |
Scriem/Citim
•
a ⊥ b sau b ⊥ a
•
a este perpendiculară pe b,
respectiv
b este perpendiculară pe a |
Reprezentare
|
| Dacă dreptele c și d formează un unghi propriu care nu este unghi drept, atunci fiecare dintre ele este oblică față de cealaltă. |
•
c
 d sau d c
•
c nu este perpendiculară pe d sau c este oblică față de d, respectiv d nu este perpendiculară pe c sau d este oblică față de c
|
|
Teoremă:
Printr-un punct din plan, se poate construi o singură perpendiculară pe o dreaptă dată.
Demonstrație.
1.
Considerăm cazul în care punctul M aparține dreptei d. Atunci, putem construi cu raportorul
o singură dreaptă care trece prin M, iar semidreptele cu originea în
M ale acesteia formează cu cele două semidrepte opuse ale dreptei d
unghiuri de 90°.
1.
2.
Pentru cazul când M este exterior dreptei d, presupunem că putem
construi perpendicularele MA și MB (A ≠ B). Atunci, dreptele MA și
MB, formează cu secanta AB unghiuri corespondente congruente
(drepte). Rezultă că MA și MB paralele, rezultat care contrazice faptul
că M este punct comun. Presupunerea este falsă, deci există o unică
perpendiculară din M, pe dreapta d.
2.
Pentru a construi o dreaptă d’, perpendiculară printr-un punct M al planului, pe o dreaptă d, putem folosi
unghiul drept al echerului sau putem folosi compasul.
Capitolul 5 • Noțiuni geometrice fundamentale
151