Distanța de la un punct la o dreaptă
Considerăm M, punct exterior dreptei d. Construim perpendiculara din
M pe dreapta d și o notăm cu d’. Fie {P} = d’ ⋂ d.
Punctul P, descris mai sus, se numește piciorul perpendicularei din
punctul M, pe dreapta d.
Definiție.
Fie M este un punct exterior dreptei d. Se numește distanța
de la punctul M la dreapta d, lungimea segmentului MP, unde
P este piciorul perpendicularei din M pe d.
Dacă M ∈ d, distanța de la M la d este 0.
Exemplu. Dacă ABCD este dreptunghi, oricare două laturi sunt situate
pe drepte perpendiculare. Piciorul perpendicularei din A pe BC este
chiar punctul B, deci distanța de la A la BC este lungimea laturii AB.
În același mod, piciorul perpendicularei din A pe CD este chiar punctul
D, deci distanța de la A la CD este lungimea laturii AD.
Știm să aplicăm, identificăm conexiuni
Aplicația 1.
Două drepte distincte perpendiculare
pe o a treia dreaptă sunt
drepte paralele.
În limbajul simbolisticii matematice:
Dacă a, b, c sunt trei drepte cu
a ≠ b, a ⊥ c și b ⊥ c, atunci a ∥ b.
Ipoteză.
a ≠ b,
a ⊥ c și b ⊥ c
a ≠ b,
a ⊥ c și b ⊥ c
Concluzie.
a ∥ b
a ∥ b
Demonstrație. Din a ⊥ c și b ⊥ c, rezultă că dreptele a și b formează
cu secanta c câte patru unghiuri drepte, deci obținem unghiuri corespondente
congruente, de unde rezultă a ∥ b.
Observație. Rezultatul de mai sus constituie încă un criteriu de paralelism, adică o altă modalitate de a arăta că
două drepte sunt paralele.
Problemă rezolvată. Dreptele a și b sunt perpendiculare și a ⋂ b = {O}.
Punctele A și B sunt situate pe dreapta a, astfel încât OA = 2 cm și OB = 5 cm.
Punctele C și D sunt situate pe dreapta b, astfel încât OC = OD = 4 cm.
Punctele A și B sunt situate pe dreapta a, astfel încât OA = 2 cm și OB = 5 cm.
Punctele C și D sunt situate pe dreapta b, astfel încât OC = OD = 4 cm.
Calculați distanțele:
a)
de la A la b;
b)
de la B la b;
c)
de la B la a;
d)
de la D la a;
e)
de la C la a;
f)
de la D la b.
Rezolvare.
a ⊥ b, a ⋂ b = {O}, A ∈ a, B ∈ a. Atunci:
a) distanța de la A la b este AO = 2 cm;
b) distanța de la B la b este BO = 5 cm;
c) distanța de la B la a este 0 cm.
b) distanța de la B la b este BO = 5 cm;
c) distanța de la B la a este 0 cm.
b ⊥ a, a ⋂ b = {O}, C ∈ b, D ∈ b. Atunci:
d) distanța de la D la a este DO = 4 cm;
e) distanța de la C la a este CO = 4 cm;
f) distanța de la D la b este 0 cm.
e) distanța de la C la a este CO = 4 cm;
f) distanța de la D la b este 0 cm.
Capitolul 5 • Noțiuni geometrice fundamentale
153