Știm să aplicăm, identificăm conexiuni
a)
Dacă punctele A, B și C sunt coliniare, atunci, mediatoarele segmentelor AB și BC sunt paralele.
b)
Dacă mediatoarele segmentelor AB și BC sunt paralele, atunci, punctele A, B și C sunt coliniare.
Soluție. Notăm cu d1 mediatoarea segmentului AB și cu d2 mediatoarea segmentului BC.
a)
Punctul B este situat pe segmentul AC, prin urmare dreptele AB, AC, BC
coincid. Fie d această dreaptă. Dreptele d1 și d2 sunt mediatoare, deci d1 ⊥ AB și
d2 ⊥ BC, adică d1 și d2 sunt perpendiculare pe aceeași dreaptă d. Mijloacele segmentelor AB și BC sunt de o parte și de alta a punctului B, deci sunt distincte.
Atunci, d1 și d2 sunt perpendiculare pe aceeași dreaptă în puncte distincte, deci d1 ∥ d2.
b)
Presupunem că A, B, C nu sunt coliniare. Atunci putem prelungi segmentul AB care taie d2 în D. Dreptele
paralele d1 și d2 formează cu secanta BD unghiuri alterne interne congruente, deci BD ⊥ d2. Dar, BC ⊥ d2, iar
prin punctul B, putem duce o unică dreaptă perpendiculară pe d2. Rezultă că dreptele BD și BC coincid, adică
A, B și C sunt coliniare.
Aplicația 2.
Desenați pe caiete punctele necoliniare A, B, C.
a)
Construiți dreapta d3, mediatoarea segmentului AB și dreapta d4, mediatoarea segmentului
BC.
b)
Demonstrați că dreptele d3 și d4 sunt concurente într-un punct. Notați cu O acest punct.
c)
Folosind teorema enunțată mai sus, deduceți că O aparține mediatoarei segmentului AC.
Soluție.
b)
Presupunem că d3 și d4 nu sunt concurente, adică d3 ∥ d4. Atunci, conform Aplicației 1 b), rezultă că A, B, C
sunt coliniare, ceea ce contrazice ipoteza. Presupunerea că d3 ∥ d4 este falsă, iar d3 și d4 sunt concurente, deci
există un punct O, astfel încât d3 ∩ d4 = {O}.
c)
Din O ∈ d3, cum d3 este mediatoarea segmentului AB, avem OA ≡ OB, iar din O ∈ d4, cum d4 este mediatoarea
segmentului BC, avem OB ≡ OC; prin urmare, OA ≡ OC, ceea ce înseamnă că O este situat pe mediatoarea
segmentului AC.
Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm
2.
Reprezentați geometric segmentul AB cu lungimea
de 6 cm, și punctul M, situat pe segmentul
AB, astfel încât MA = 3 cm. Reprezentați
dreapta
d, perpendiculară în punctul M, pe dreapta AB.
Copiați pe caiete și completați spațiile libere astfel încât să obțineți propoziții adevărate:
Copiați pe caiete și completați spațiile libere astfel încât să obțineți propoziții adevărate:
a)
Punctul M este … segmentului … .
b)
Unghiul format de dreapta d cu dreapta AB are
măsura …°.
c)
Dreapta d este … segmentului … .
2.
Dreapta AB este mediatoarea segmentului CD și
AB ∩ CD = {M}. Scrieți în caseta liberă A, dacă propoziția este adevărată și F, dacă propoziția este falsă.
| Propoziția | A/F |
| AB ⊥ CD. | |
| CM = MD. | |
| ∢AMB = 90°. | |
| ∢CMA = 90°. |
3.
Desenați punctele coliniare A, B, C, cu AB = 2 cm și BC = 6 cm.
a)
Construiți dreptele m1 și m2 , mediatoarele segmentelor
AB, respectiv BC.
b)
Dacă m1 ∩ AB = {M} iar m2 ∩ BC = {N}, calculați lungimea segmentului MN. Analizați toate cazurile posibile.
158
Matematică • Manual pentru clasa a VI-a
