Știm să aplicăm, identificăm conexiuni
Reținem!
Aplicația 1.
Se consideră mulțimile A = {11, 22, 33, 44, 55}, B = {11, 2a, b5, 44, cc} și mulțimea C dată
prin diagrama alăturată.
a) Determinați cifrele a, b, c astfel încât A = B.
b) Pentru a, b, c, determinate la subpunctul a), identificați cifra x astfel încât B = C.
c) Folosind valorile obținute la subpunctele a) și b), stabiliți relația dintre mulțimile A și C.
Soluție. a) Pentru ca A = B, adică pentru ca A și B să aibă aceleași elemente, trebuie ca 2a = 22,
b5= 55 și cc = 33. Obținem a = 2, b = 5, c = 3.
Din B = C, rezultă xx = 11, deci x = 1. c) A = {11, 22, 33, 44, 55} = C.
Reținem!
1.
Orice mulțime este egală cu ea însăși. A = A, oricare ar fi mulțimea A.
2.
Dacă A = B, atunci B = A.
3.
Dacă A = B și B = C, atunci A = C.
Observații.
1.
Dacă A = B, atunci card A = card B.
2.
Există mulțimi diferite care au același număr de elemente, adică A ≠ B și card A = card B
Aplicația 2.
Triunghiul ABC, reprezentat în imagine, este mulțimea tuturor punctelor din plan
situate pe cel puțin unul dintre segmentele AB, BC, AC.
a)
Scrieți mulțimea L, a laturilor triunghiului și mulțimea V, a vârfurilor triunghiului.
b)
Scrieți submulțimile mulțimii L care au cardinalul 2.
c)
Scrieți toate submulțimile mulțimii V.
Soluție. a) L = {AB, BC, CA}; V = {A, B, C}. b) {AB, BC}; {AB, CA}; {BC, CA};
c) ∅; {A}; {B}; {C}; {A, B}; {B, C}; {A, C}; {A, B, C}.
Aplicația 3.
Stabiliți, argumentat, dacă sunt adevărate sau sunt false propozițiile: {1, 2, 3} ⊂ {0, 2, 1, 7}; {3} ⊂ {0, 1, 2, 3, 7};
∅ ⊄ {0}; {a, b, c} ⊃ {a, c}.
Rezolvare
| Propoziția | A/F | Justificare |
| {1, 2, 3} ⊂ {0, 2, 1, 7} | F | 3 ∈ {1, 2, 3}, dar 3 ∉ {0, 2, 1, 7} |
| {3} ⊂ {0, 1, 2, 3, 7} | A | 3 ∈ {3} și 3 ∈ {0, 1, 2, 3, 7} |
| ∅ ⊄ {0} | F | ∅ este submulțime a oricărei mulțimi |
| {a, b, c} ⊃ {a, c} | A | a ∈{a, c} și a ∈{a, b, c}; c ∈{a, c} și c ∈{a, b, c}. |
Reținem!
a)
Mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi A. Scriem ∅ ⊂ A.
b)
Dacă A ⊂ B și B ⊂ C, atunci A ⊂ C.
c)
loc afirmațiile: c1: Dacă A ⊂ B și B ⊂ A, atunci A = B. c2: Dacă A = B, atunci A ⊂ B și B ⊂ A.
16
Matematică • Manual pentru clasa a VI-a