Descoperim, înțelegem, exemplificăm

Definiție. Un unghi cu vârful în centrul cercului se numește unghi la centru.

Arcul mic determinat de punctele de intersecție dintre laturile unui unghi la centru și cerc se numește arcul subîntins de unghiul la centru.
Unghiul la centru care subîntinte un arc mic se numește unghi la centru corespunzător acestui arc.

Măsura unui arc mic al cercului este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător acestui arc.

Măsura cercului este egală cu suma măsurilor unghiurilor în jurul unui punct, adică 360°.

Măsura unui arc mare al cercului este egală cu diferența dintre 360° și măsura arcului mic corespunzător.

Dacă ∢MON = α°, atunci MN = α°, iar MBN = 360° – α°.

Dacă MN = α°, atunci ∢MON = α°, iar MBN = 360° – α°.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni

Ne amintim că cercurile C₁ (O₁ , r₁ ) și C₂ (O₂ , r₂ ) sunt congruente dacă r₁ = r₂ .

Definiție. Într-un cerc, sau în cercuri congruente, două arce sunt congruente dacă au aceeași măsură.
Pentru arcele congruente AB și CD scriem AB ≡ CD .

Observație:
Nu este suficient ca arcele să aibă aceeași măsură pentru a putea spune că acestea sunt congruente. Este esențial ca acestea să fie arce ale aceluiași cerc sau ale unor cercuri congruente.

În figura alăturată avem AB = 90° și CD = 90°, deci arcele au aceeași măsură. Totuși, se observă ușor că arcele nu sunt congruente (nu vor coincide prin suprapunere).

Aplicație. Dacă punctele A, B, C aparțin cercului C (O, r ) , iar C ∈ AB , unde AB este un arc mic, atunci AB = AC + CB .
Soluție. Identificăm unghiurile la centru AOC, COB, AOB. Observăm că ∢AOC și ∢COB sunt adiacente cu OC în interiorul ∢AOB, deci ∢AOB = ∢AOC + ∢COB.
Folosind faptul că măsura unui arc mic de cerc este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător, rezultă că AB = AC + CB .

Temă de portofoliu. Demonstrați afirmația de mai sus și pentru cazul când AB este un arc mare al cercului identificând cazul în care arcele AC și BC sunt arce mici și cazul în care unul dintre ele este arc mare.

166

Matematică • Manual pentru clasa a VI-a

Cuprins:

Unghi la centru

Arce congruente