Descoperim, înțelegem, exemplificăm

Problema 1. Considerăm triunghiul ABC și DE paralela prin A la BC, unde D și E sunt situate de o parte și de alta a punctului A, ca în imaginea alăturată.

a) Demonstrați că unghiurile DAB și ABC sunt congruente.

b) Demonstrați că unghiurile EAC și ACB sunt congruente.

c) Folosind congruențele demonstrate la subpunctele a) și b), deduceți suma măsurilor unghiurilor BAC, ABC, BCA.

Demonstrație.

a) Dreptele paralele DE și BC formează cu secanta AB unghiuri alterne interne congruente, deci ∢DAB ≡ ∢ABC.

b) Aceleași drepte paralele formează cu secanta AC unghiuri alterne interne congruente, deci ∢EAC ≡ ∢BCA.

c) Punctele E, A, D sunt coliniare, adică ∢DAE = 180°. Unghiurile EAC și CAB și, de asemenea, unghiurile CAB și DAB sunt adiacente, de unde, ∢EAC + ∢CAB + ∢DAB = ∢DAE = 180°.
Din a) și b), ∢BAC + ∢ABC + ∢BCA = ∢DAB + ∢CAB + ∢EAC. Obținem ∢BAC + ∢ABC + ∢BCA = 180° sau ∢A + ∢B + ∢C = 180°, unde ∢A, ∢B, ∢C sunt măsurile unghiurilor triunghiului ABC.

Prin aplicația de mai sus, am demonstrat următorul rezultat important:

Teoremă

Suma măsurilor unghiurilor oricărui triunghi este 180°.

În limbajul simbolisticii matematice
În triunghiul ABC, ∢A + ∢B + ∢C = 180°.

Problema 2. Fie ABC un triunghi.

a) Reprezentați semidreapta CD, opusă semidreptei CB și semidreapta CE, opusă semidreptei CA.

b) Marcați unghiurile adiacente și suplementare cu unghiul ACB (unghiul C al triunghiului).

c) Repetați a) și b) pentru unghiurile A și B ale triunghiului ABC. Notați semidreptele obținute astfel: AM opusă cu AB, AN opusă cu AC respeciv BP opusă cu BA și BQ opusă cu BC.

d) Stabiliți relația între unghiurile marcate, justificând răspunsul.

Rezolvare Imagine

d) B, C, D sunt coliniare, A, C, E sunt coliniare, adică unghiurile ACD și BCE sunt opuse la vârf, deci ∢ACD ≡ ∢BCE.
Unghiurile marcate se numesc unghiuri exterioare triunghiului ABC. Au loc congruențele: ∢ACD ≡ ∢BCE, ∢CBP ≡ ∢ABQ, ∢BAN ≡ ∢CAM.

Definiție. Un unghi adiacent și suplementar cu un unghi al triunghiului se numește unghi exterior al triunghiului.

Reținem!

Fiecare triunghi are trei perechi de unghiuri exterioare.
Unghiurile exterioare corespunzătoare aceluiași vârf sunt congruente.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni

Aplicația 1. În configurația alăturată, este reprezentat triunghiul ABC.
Punctul D este situat pe dreapta BC astfel încât C este între B și D.
Comparați măsura unghiului ACD, cu suma ∢A + ∢B.
Rezolvare. Unghiurile BCA și ACD sunt adiacente suplementare, deci ∢BCA + ∢ACD = 180°.

Capitolul 5 • Noțiuni geometrice fundamentale

177

Cuprins:

Suma măsurilor unghiului unui triunghi