Dar, suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180°, adică ∢A + ∢B + ∢BCA = 180°.
Rezultă ∢ACD = ∢A + ∢B.

Prin aplicația de mai sus am demonstrat următorul rezultat important:

Teorema unghiului exterior

Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu suma măsurilor unghiurilor triunghiului neadiacente cu acesta.

În limbajul simbolisticii matematice

Dacă ACD este unghi exterior triunghiului ABC, atunci ∢ACD = ∢A + ∢B.

Aplicația 2. Orice triunghi are cel puțin două unghiuri ascuțite.

Demonstrație. Fie ΔABC. Presupunem că triunghiul are mai puțin de două unghiuri ascuțite. Atunci, cel puțin două unghiuri sunt obtuze sau drepte. Fie ∢A ≥ 90°și ∢B ≥ 90°. Atunci, ∢A + ∢B ≥ 180° rezultat care contrazice afirmația demonstrată ∢A + ∢B + ∢C = 180° cu ∢C > 0°. Rezultă că presupunerea este falsă, deci afirmația „cel puțin două unghiuri ale unui triunghi sunt ascuțite” este adevărată.

Aplicația 3. Unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic sunt complementare.

Demonstrație. Fie ΔABC, dreptunghic, cu ∢A = 90°. Atunci, cum ∢A + ∢B + ∢C = 180°, rezultă ∢B + ∢C = 180° – 90°= 90°, ceea ce demonstrază că ∢B și ∢C sunt complementare.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm

1. Notăm ∢A, ∢B, ∢C măsurile unghiurilor triunghiului ABC. Pentru fiecare dintre situațiile următoare, determinați măsurile unghiurilor necunoscute:

a) ∢A = 50°, ∢B = 60°;

b) ∢B = 67°, ∢C = 76°;

c) ∢B = 100°, ∢A ≡ ∢C;

d) ∢C = 34°20’, ∢B = 2 · ∢C;

e) ∢A ≡ ∢B ≡ ∢C;

f) ∢A = 2 · ∢B = 6 · ∢C .

2. Precizați natura fiecărui triunghi de la exercițiul 1 (ascuțitunghic, dreptunghic, obtuzunghic).

3. Sandu desenează triunghiul DEF în care măsura unghiului D este 48°. Alin spune că celelalte două unghiuri ar putea avea măsurile 70° și 72°. Paul spune că celelalte două unghiuri ar putea avea măsurile 64° și 68°.
Precizați, argumentat, care din ei are dreptate.

4. Fie triunghiul MNP. Completați în casetele libere măsurile corespunzătoare unghiurilor:

∢M	∢N	∢P
75°	46°
	90°	45°
	∢M + 12°	∢N + 24°

5. Copiați pe caiete tabelul și completați în caseta liberă litera A, dacă afirmația este adevărată și litera F, dacă afirmația este falsă.

Afirmația	A/F
Dacă ∢A + ∢B = 90°, atunci ∢C = 90°.
Dacă ∢B + ∢C > 90°, atunci ∢A < 90°.
Dacă ∢C + ∢A < 90°, atunci ∢B < 90°.
Dacă ∢A ≥ 60°, ∢B ≥ 60°, ∢C ≥ 60°, atunci ∢A = ∢B = ∢C .

6. Stabiliți dacă triunghiul ABC este ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic în fiecare din situațiile:

a) ∢A = 45°, ∢A ≡ ∢B;

b) ∢B = 25°, ∢C = 62°;

c) ∢C = 30°, ∢A = 24° + ∢B.

7. În figura alăturată ∢ABE = ∢CBD = 90°, punctele B, E, D sunt coliniare și ∢A ≡ ∢D.

a) Demonstrați că ∢C ≡ ∢AEB.

b) Dacă ∢C = 60°, aflați măsura unghiului ∢A.

8. Fie triunghiul ABC cu ∢A = 56°, ∢B = 78°. Calculați măsurile unghiurilor exterioare ale triunghiului.

178

Matematică • Manual pentru clasa a VI-a

Cuprins: