Problema 1. a) Folosind faptul că cercul conține toate punctele situate la o distanță constantă de un punct fix, verificați dacă există un triunghi MNP cu laturile de MN = 1 cm, NP = 2 cm, MP = 4 cm.

a) Verificați dacă există un triunghi QRS cu laturile de QR = 1 cm, RS = 2 cm, QS = 3 cm.

b) Verificați dacă există un triunghi DEF cu laturile de DE = 3 cm, DF = 2 cm, EF = 1,5 cm.

c) Calculați sumele DE + EF, DF + EF, DE + DF.

d) Comparați DE + EF cu DF, comparați DF + EF cu DE, apoi comparați DE + DF cu EF.

Rezolvare. a) Construim segmentul MP = 4 cm. Dacă există triunghiul MNP, atunci N este la 1 cm de M și la 2 cm de P. Prin urmare, N s-ar afla atât pe cercul de centru M și rază 2 cm, cât și pe cercul de centru P și rază 1 cm. Construim cele două cercuri și observăm că acestea nu au puncte comune.
În concluzie, nu există în plan un punct situat pe ambele cercuri, deci nu există un triunghi în care MN + NP < MP.

b) Construim segmentul SQ = 3 cm. Construind cercul de centru S și rază 2 și cercul de centru Q și rază 1, acestea se intersectează în punctul R, situat pe dreapta SQ.
Adică nu există un triunghi în care SR + RQ = SQ. QR = 1 cm, RS = 2 cm, QS = 3 cm, adică QS = QR + RS, deci punctele Q, R, S sunt coliniare, deci nu pot fi vârfurile unui triunghi.

c) Pasul 1. Construim segmentul DE = 3 cm și cercurile C₁ (D, 2 cm) și C₂ (E, 1,5 cm)
Pasul 2. Notăm cu F₁ și F₂ punctele în care se intersectează cele două cercuri.
Pasul 3. Trasăm laturile triunghiului DEF₁ sau DEF₂ .
Oricare dintre triunghiurile DEF₁ și DEF₂ are laturile cu lungimile cerute.
În concluzie, se pot construi triunghiurile DEF₁ și DEF₂ cu condițiile date.

d) DE + EF = 4,5 cm; DF + EF = 3,5 cm; DE + DF = 5 cm.

e) Folosind calculele de la la d), rezultă DE + EF > DF; DF + EF > DE; DE + DF > EF.

Teoremă (inegalitatea triunghiului) Într-un triunghi, suma lungimilor oricăror două laturi este mai mare decât lungimea celei de-a treia laturi.

Dacă există triunghiul ABC, atunci AB + BC > AC; AB + AC > BC; AC + BC > AB.
Dacă a, b, c sunt numere pozitive astfel încât a + b > c; a + c > b;
b + c > a, atunci există un triunghi pentru care lungimile laturilor sunt a, b, c, exprimate în aceeași unitate de lungime.

Observație. Pentru verificarea existenței triunghiului care are lungimile laturilor exprimate în aceeași unitate de măsură, prin numerele pozitive a < b < c, este suficient să verificăm dacă a + b > c.

Problema 2. a) Construiți triunghiul ABC cu BC = 3 cm, ∢ABC = 60° și ∢ACB = 50°.
b) Construiți triunghiul MNP cu MN = 3 cm, ∢NMP = 30° și MP = 2 cm.
Rezolvare.

a) Pasul 1. Construim segmentul BC = 3 cm.
Pasul 2. De aceeași parte a dreptei BC, construim semidreptele BX și CY astfel încât ∢CBX = 60° și ∢BCY = 50°.
Pasul 3. Notăm cu A punctul în care se intersectează semidreptele BX și CY.
Acest punct există pentru că suma măsurilor unghiurilor CBX și BCY este mai mică decât 180°.
Pasul 4. Trasăm laturile AB și AC.

180

Matematică • Manual pentru clasa a VI-a

Cuprins:

Construcția triunghiurilor

Problema 2