b) Pasul 1. Fixăm punctul M și construim un unghi cu vârful M și cu măsura de 30°.
Pasul 2. Pe o latură a unghiului, fixăm punctul N astfel încât MN = 3 cm, iar pe cealaltă latură fixăm punctul P astfel încât MP = 2 cm. Am reprezentat laturile MN și MP.
Pasul 3. Trasăm segmentul NP, care va fi a treia latură a triunghiului.

Rezolvând problemele 1 și 2, am descoperit trei situații distincte în care se poate construi un triunghi, cunoscând doar trei dintre cele șase elemente ale sale.

Reținem!

Se poate construi un triunghi în unul dintre următoarele trei cazuri:

1. Se cunosc lungimile tuturor celor trei laturi, care respectă inegalitatea triunghiului. (cazul LLL)

2. Se cunosc lungimile a două laturi și măsura unghiului format de acestea. (cazul LUL)

3. Se cunosc măsurile a două unghiuri cu suma măsurilor mai mică de 180° și lungimea laturii determinate de vârfurile lor. (cazul ULU)

Observații.

1. Pentru cazul LLL, este esențială inegalitatea triunghiului.

2. Dacă se cunosc măsurile a două unghiuri și lungimea unei laturi, existența triunghiului este asigurată, prin cazul ULU, de condiția ca suma lor să fie mai mică de 180°, măsura celui de-al treilea unghi fiind suplementul sumei celor două.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni

Problemă rezolvată 1. Andrei și Cristian locuiesc în același oraș și învață la aceeași școală. Distanța dintre casa lui Andrei și școală este 1500 m, iar distanța dintre casa lui Cristian și școală este 1100 m. Andrei spune că locuiește la cel mult 400 de metri distanță de Cristian.

a) Precizați, argumentat, dacă este posibil ca distanța dintre casele celor doi colegi să fie la distanță mai mică de 400 m.

b) Precizați în ce caz Andrei locuiește la 400 m de locuința lui Cristian.

Soluție.

a) Fie A, C, S, punctele corespunzătoare caselor celor doi colegi, respectiv sediului școlii, pe harta localității.
Atunci, AS = 1500 m și CS = 1100 m. Dacă A, C, S sunt necoliniare, atunci AC + CS > AS, adică AC + 1100 > 1500, deci AC > 400. Cei doi locuiesc la o distanță mai mare decât 400 m, adică Andrei nu locuiește la cel mult 400 m distanță.

b) Dacă punctele A, C, S sunt coliniare, atunci sunt posibile trei cazuri de ordonare, dintre care este relevant pentru problemă doar cazul în care C este situat între A și S, adică AC + CS = AS, deci AC = 400 m.

Problemă rezolvată 2.

a) Construiți un triunghi ABC cu AB = 4 cm, ∢ABC = 75°, BC = 5 cm.

b) Măsurați celelalte trei elemente ale triunghiului construit.

c) Scrieți unghiurile triunghiului în ordinea descrescătoare a măsurilor lor.

d) Scrieți laturile triunghiului în ordinea descrescătoare a lungimilor acestora.

Rezolvare a) Se construiește un unghi B de 75°. Pe laturile unghiului, se marchează punctele A și C astfel încât AB = 4 cm și BC = 5 cm. Se trasează latura AC.

b) Măsurăm cu raportorul unghiurile A și C, apoi măsurăm cu rigla gradată latura AC. Obținem: ∢BAC este de aproximativ 61°, ∢ACB este de aproximativ 44°, iar AC este aproximativ 5,5 cm.

c) ∢B > ∢A > ∢C.

d) AC > BC > AB.

Capitolul 5 • Noțiuni geometrice fundamentale

181

Cuprins: