6.2. Linii importante în triunghi
L1
Bisectoarele unghiurilor unui triunghi. Concurența bisectoarelor
Ne amintim
Dacă ∢ABC este unghi propriu și M ∈ Int(∢ABC) astfel încât ∢ABM ≡ ∢MBC, atunci
semidreapta BM este bisectoarea unghiului ABC.
Dacă ∢ABC este unghi propriu și BM este bisectoarea unghiului ABC, atunci M ∈ Int(∢ABC) și ∢ABM ≡ ∢MBC.
Dacă ∢ABC este unghi propriu și BM este bisectoarea unghiului ABC, atunci M ∈ Int(∢ABC) și ∢ABM ≡ ∢MBC.
Dreapta d este tangentă la cercul C(O, r) în punctul T dacă d ⋂ C(O, r) = {T}.
Dacă d este tangentă la cerc în punctul T, atunci OT ⊥ d.
Dacă d este tangentă la cerc în punctul T, atunci OT ⊥ d.
Distanța de la centrul cercului la o dreaptă tangentă la cerc este egală cu raza
cercului.
Descoperim, înțelegem, exemplificăm
a)
Construiți bisectoarea AA 1 a unghiului BAC , A 1 ∈ BC și bisectoarea BB 1 a unghiului ABC, B1 ∈ AC.
b)
Notați cu I punctul în care AA1 și BB1 se intersectează.
c)
Construiți semidreapta CI și notați cu C1 punctul în care aceasta intersectează latura AB.
d)
Măsurați unghiurile ACI și BCI și stabiliți relația între măsurile lor.
a) și b)
c)
d)
Prin măsurare, intuim că
dacă AA1 și BB1 sunt bisectoarele unghiurilor A respectiv B, ale triunghiului ABC, atunci ∢ACI = ∢BCI, adică semidreapta CI este bisectoarea unghiului C.
Reținem!
Oricare ar fi triunghiul ABC, bisectoarele unghiurilor
sale sunt concurente într-un punct,
notat, de regulă, cu I.
Dacă AA1 , BB1 , CC1 sunt bisectoarele unghiurilor A, B respectiv
C, ale triunghiului ABC, atunci există I, astfel încât
AA1 ⋂ BB1 ⋂ CC1 = {I}.
Știm să aplicăm, identificăm conexiuni
b)
Construiți IM ⊥ BC, IN ⊥ AC, IP ⊥ AB, M ∈ BC, N ∈ AC, P ∈ AB.
c)
Măsurați segmentele IM, IN, IP și decideți dacă punctul I este situat la aceeași distanță de cele trei laturi
ale triunghiului ABC.
d)
Construiți cercul cu centrul I și cu raza IM.
Capitolul 5 • Noțiuni geometrice fundamentale
183