Știm să aplicăm, identificăm conexiuni
Se consideră triunghiul oarecare ABC.
a)
Construiți, folosind unghiul drept al echerului, AA1 ⊥ BC, A1 ∈ BC, apoi BB1 ⊥ AC,
B1 ∈ AC. Notați cu H punctul în care dreptele AA1 și BB1 se intersectează.
b)
Construiți dreapta CH și notați cu C1 punctul în care aceasta intersectează latura
AB.
c)
Măsurați unghiul CC1A sau CC1B și stabiliți dacă CC1 ⊥ AB.
Reținem!
Oricare ar fi triunghiul ABC, dreptele suport ale înălțimilor sale sunt concurente într-un punct numit ortocentru
al triunghiului și notat, de regulă, cu H.
Dacă AA1 , BB1 , CC1 sunt înălțimile triunghiului, atunci există H, astfel încât AA1 ⋂ BB1 ⋂ CC1 = {H}.
Folosind reprezentarea geometrică a înălțimilor triunghiului ascuțitunghic ABC și notând
ortocentrul triunghiului cu H1, deduceți intuitiv că ortocentrul aparține interiorului
triunghiului ABC, adică:
Dacă ΔABC este ascuțitunghic, iar H1 este ortocentrul triunghiului, atunci
H1 ∈ Int(ΔABC).
Aplicația 2.
a)
Construiți înălțimile triunghiului dreptunghic DEF, ∢D = 90°. Notați cu H2 ortocentrul triunghiului.
b)
Stabiliți intuitiv poziția punctului H2 . Deduceți că ortocentrul coincide cu vârful unghiului drept al triunghiului DEF.
Soluție.
a)
În triunghiul DEF, ED este înălțimea din E, FD este înălțimea din F. Dacă DD1 este
înălțimea din D, atunci DD1 ⋂ ED ⋂ FD = {H2 } = {D}.
b)
H2 coincide cu D.
Aplicația 3.
a)
Construiți înălțimile triunghiului obtuzunghic MNP, ∢M > 90°. Notați cu H3 ortocentrul triunghiului.
b)
Stabiliți intuitiv poziția punctului H3 . Deduceți că ortocentrul se găsește în exteriorul triunghiului.
Soluție.
a)
În triunghiul MNP, înălțimile din N, P și M sunt segmentele: NN1 , PP1 respectiv
MM1 , iar dreptele lor suport se intersectează în H3 . MM1 ⋂ NN1 ⋂ PP1 = {H3 }.
b)
Observăm că H3 ∈ Ext(ΔABC).
Reținem!
1.
Într-un triunghi ascuțitunghic, ortocentrul este situat în interiorul triunghiului.
2.
Într-un triunghi dreptunghic, ortocentrul coincide cu vârful unghiului drept al triunghiului.
3.
Într-un triunghi obtuzunghic, ortocentrul este situat în exteriorul triunghiului.
Capitolul 5 • Noțiuni geometrice fundamentale
189
Intersecția înălțimilor
Apasă butonul Redă şi priveşte cu atenţie.