Medianele unui triunghi. Concurență

Ne amintim

Mijlocul segmentului AB este punctul M, situat pe segmentul AB, la distanță egală de capete. (AM = MB).

Dacă M este situat pe segmentul AB și MA ≡ MB, atunci M este mijlocul acestuia.

Dacă AB = 20 cm și M este mijlocul segmentului AB, atunci AM = MB = 10 cm.
Dacă AB = 20 cm și AM = MB = 10 cm, atunci M este mijlocul segmentului AB.

Dacă M este mijlocul segmentului AB, atunci A și B sunt simetrice față de M.

Descoperim, înțelegem, exemplificăm

Definiție. Se numește mediană a unui triunghi segmentul determinat de un vârf al triunghiului și mijlocul laturii opuse.

Aplicația 1. a) Reprezentați un triunghi ABC și trasați medianele AM și BN.
Notați cu G intersecția acestora.

b) Trasați semidreapta CG și notați cu P intersecția acesteia cu latura AB.

c) Măsurați cu rigla gradată segmentele PA și PB și stabiliți dacă CP este mediană a triunghiului.

Soluție. c) PA = PB, deci CP este mediană a triunghiului.

Reținem!

În orice triunghi, medianele sunt concurente într-un punct, numit centru de greutate al triunghiului și care se notează, de regulă, cu G.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni

Aplicația 2.

a) Decupați din carton o suprafață triunghiulară MNP. Reprezentați medianele MM₁ , NN₁ , PP₁ , ale triunghiului și notați cu G centrul de greutate al acestuia.

b) Încercați să mențineți suprafața decupată în poziție orizontală, sprijinind- o doar pe punctul G, ca în imaginea alăturată.

Intuitiv, centrul de greutate al unei suprafețe este punctul în care poate fi sprijinită suprafața astfel încât să rămână în echilibru, în poziție orizontală.
În practică, cunoașterea poziției centrului de greutate a unei suprafețe omogene este esențială pentru stabilirea echilibrului acesteia.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm

1. Reprezentați câte un triunghi și trasați medianele, folosind instrumentele geometrice, în fiecare dintre cazurile:

a) Triunghiul este ascuțitunghic.

b) Triunghiul este dreptunghic.

c) Triunghiul este obtuzunghic.

2. Fie triunghiul ABC, AD, BE mediane ale triunghiului și AD ⋂ BE = {G}. Copiați pe caiete și completați spațiile libere astfel încât afirmațiile să fie adevărate.
p₁ : Punctul D este … laturii BC.
p₂ : Dacă AC = n · AE, atunci n este egal cu … .
p₃ : Punctul G se numește … al triunghiului ABC.

Cuprins:

Intersecția medianelor