|
3. Cazul de congruență LUL
Dacă două triunghiuri au o latură și unghiurile alăturate ei respectiv congruente, atunci triunghiurile sunt
congruente
|
||
| În limbajul simbolisticii matematice | ||
| Dacă ∢A≡∢M, AB≡MN și AC≡MP, atunci ∆ ABC≡∆ MNP | Dacă ∢B≡∢N, BC≡NP și AB≡MN, atunci ∆ ABC≡∆ MNP. | Dacă ∢C≡∢P, AC≡MP și BC≡NP, atunci ∆ ABC≡∆ MNP. |
|
|
|
Știm să aplicăm, identificăm conexiuni
a)
Demonstrați că ∆MAC ≡ ∆ MBD și ∆ MAD ≡ ∆ MBC.
b)
Folosind rezultatul de la subpunctul a), deduceți că AD ≡ BC și AC ≡ BD.
c)
Demonstrați că triunghiurile CAD și DBC sunt congruente.
d)
Folosind rezultatele demonstrate mai sus justificați paralelismul: AD ∥ CB și AC ∥ BD.
Ipoteză:
AB ⋂ CD = {M},
MA ≡ MB și
MC ≡ MD.
MA ≡ MB și
MC ≡ MD.
Concluzie:
a)
ΔMAC ≡ ΔMBD și ΔMAD ≡ ΔMBC.
b)
AC ≡ BD și AD ≡ BC.
c)
ΔCAD ≡ ΔDBC.
d)
AD ∥ CB și AC ∥ BD
a)
Din ipoteză, MA ≡ MB. (1)
Unghiurile AMC și BMD sunt opuse la vârf, deci ∢AMC ≡ ∢BMD. (2)
Din ipoteză, MC ≡ MD. (3)
Din (1), (2) și (3), conform cazului de congruență LUL, rezultă ∆MAC ≡ ∆ MBD.
Din ipoteză, MA ≡ MB. (4)
Unghiurile AMD și BMC sunt opuse la vârf, deci ∢AMD ≡ ∢BMC. (5)
Din ipoteză, MD ≡ MC. (6)
Din (4), (5) și (6), conform cazului de congruență LUL, rezultă ∆ MAD ≡ ∆ MBC.
Unghiurile AMC și BMD sunt opuse la vârf, deci ∢AMC ≡ ∢BMD. (2)
Din ipoteză, MC ≡ MD. (3)
Din (1), (2) și (3), conform cazului de congruență LUL, rezultă ∆MAC ≡ ∆ MBD.
Din ipoteză, MA ≡ MB. (4)
Unghiurile AMD și BMC sunt opuse la vârf, deci ∢AMD ≡ ∢BMC. (5)
Din ipoteză, MD ≡ MC. (6)
Din (4), (5) și (6), conform cazului de congruență LUL, rezultă ∆ MAD ≡ ∆ MBC.
b)
Din ∆MAC ≡ ∆ MBD, rezultă AC ≡ BD, iar din ∆ MAD ≡ ∆ MBC, rezultă AD ≡ BC.
c)
Din b), știm că AC ≡ BD și AD ≡ BC. Dar, CD ≡ CD (latură comună).
Conform cazului de congruență LLL, rezultă ∆ CAD ≡ ∆ DBC.
Conform cazului de congruență LLL, rezultă ∆ CAD ≡ ∆ DBC.
d)
Congruența demonstrată la punctul c) implică ∢ACD ≡ ∢CDB și ∢ADC ≡ ∢DCB. Dreptele AC și DB
formează cu secanta CD unghiuri alterne interne congruente, adică AC ∥ BD. Analog, pentru dreptele
AD și CB, cu secanta CD, rezultând AD ∥ CB.
Temă de portofoliu.
Segmentele AC și BD se intersectează în punctul M. Știind că AB ≡ CD și AB ∥ CD, demonstrați că:
Segmentele AC și BD se intersectează în punctul M. Știind că AB ≡ CD și AB ∥ CD, demonstrați că:
a)
punctul M este mijlocul comun al segmentelor AC și BD;
b)
dreptele AD și BC sunt paralele.
Capitolul 6 • Triunghiul
197
Criterii de congruentță a triunghiurilor dreptunghice
Apasă butonul Redă şi priveşte cu atenţie.
