Minitest
4 × 10 p
1.
Triunghiurile ABC și MNP sunt dreptunghice, cu
∢BAC = 90° și ∢NMP = 90°.
Asociați literei din coloana A, care identifică setul de congruențe ale elementelor corespunzătoare, cifra din coloana B, care identifică criteriul de congruență a triunghiurilor ABC și MNP.
Asociați literei din coloana A, care identifică setul de congruențe ale elementelor corespunzătoare, cifra din coloana B, care identifică criteriul de congruență a triunghiurilor ABC și MNP.
| A | B |
| a. AB ≡ MN, AC ≡ MP | 1. IC |
| b. AC ≡ MP, ∢ABC ≡ ∢MNP | 2. IU |
| c. BC ≡ NP, AB ≡ MN | 3. CC |
| d. BC ≡ NP, ∢ACB ≡ ∢MPN | 4. CU |
25 p
25 p
2.
Fie ABC un triunghi și CD bisectoarea unghiului C, D ∈ AB. Perpendiculara din punctul A pe CD
intersectează CD în P și BC în E.
a)
Demonstrați că ∆ ACP ≡ ∆ ECP .
b)
Precizați, justificând răspunsul dat, dacă unghiurile DAC și DEC sunt congruente.
Notă:
Timp de lucru 20 de minute.
Se acordă 10 puncte din oficiu.
Se acordă 10 puncte din oficiu.
L1
Metoda triunghiurilor congruente
Ne amintim
Geometria bazată pe raționament operează cu propoziții matematice, definiții, axiome, teoreme.
O propoziție matematică este o afirmație care este sau adevărată sau falsă.
Axiomele sunt afirmații acceptate ca fiind adevărate, fără a necesita demonstrație.
Teoremele sunt afirmații adevărate, demonstrate pe baza axiomelor și a definițiilor noțiunilor care apar în enunț, folosind, eventual, alte teoreme demonstrate anterior.
O propoziție matematică este o afirmație care este sau adevărată sau falsă.
Axiomele sunt afirmații acceptate ca fiind adevărate, fără a necesita demonstrație.
Teoremele sunt afirmații adevărate, demonstrate pe baza axiomelor și a definițiilor noțiunilor care apar în enunț, folosind, eventual, alte teoreme demonstrate anterior.
Teoremele ne asigură că dacă anumite informații (ipoteza teoremei) sunt adevărate, atunci și alte informații
(concluzia teoremei) vor fi adevărate.
În general, teoremele au forma: „Dacă ipoteză, atunci concluzie“.
În general, teoremele au forma: „Dacă ipoteză, atunci concluzie“.
Prin interschimbarea concluziei cu ipoteza sau cu o parte din ipoteză, se obțin reciproce ale teoremelor.
Dacă reciproca este adevărată, atunci devine teoremă și se numește teorema reciprocă a teoremei din care s-a
format, aceasta numindu-se teorema directă.
Descoperim, înțelegem, exemplificăm
Dacă au loc atât teorema directă cât și teorema reciprocă, acestea
se pot formula într-un singur enunț de forma:
Propoziția 1 dacă și numai dacă propoziția 2.
Această formulare presupune că sunt adevărate simultan propozițiile:
Dacă propoziția 1, atunci propoziția 2 și
Dacă propoziția 2, atunci propoziția 1.
Demonstrația unei teoreme de tipul „… dacă și numai dacă …”, presupune demonstrația ambelor teoreme (directă și reciprocă).
Propoziția 1 dacă și numai dacă propoziția 2.
Această formulare presupune că sunt adevărate simultan propozițiile:
Dacă propoziția 1, atunci propoziția 2 și
Dacă propoziția 2, atunci propoziția 1.
Demonstrația unei teoreme de tipul „… dacă și numai dacă …”, presupune demonstrația ambelor teoreme (directă și reciprocă).
Exemplu:
Fie d mediatoarea segmentului AB și M un punct în plan. Au loc teoremele:
a) Dacă M ∈ d, atunci MA ≡ MB.
b) Dacă MA ≡ MB, atunci M ∈ d.
Cele două enunțuri pot fi înlocuite cu:
M ∈ d dacă și numai dacă MA ≡ MB.
Fie d mediatoarea segmentului AB și M un punct în plan. Au loc teoremele:
a) Dacă M ∈ d, atunci MA ≡ MB.
b) Dacă MA ≡ MB, atunci M ∈ d.
Cele două enunțuri pot fi înlocuite cu:
M ∈ d dacă și numai dacă MA ≡ MB.
Capitolul 6 • Triunghiul
203