Observație. Exemplul de mai sus ne oferă caracterizarea punctelor de pe mediatoarea unui segment, pe care
o vom demonstra într-una dintre lecțiile următoare:
Mediatoarea unui segment este mulțimea punctelor din plan egal depărtate de capetele segmentului.
Mediatoarea unui segment este mulțimea punctelor din plan egal depărtate de capetele segmentului.
Metoda triunghiurilor congruente ne oferă instrumente utile pentru demonstrarea congruenței unor segmente
sau a unor unghiuri de care avem nevoie și pentru demonstrarea unor teoreme importante.
A folosi metoda triunghiurilor congruente pentru a demonstra congruența a două segmente sau a două
unghiuri înseamnă a parcurge următorii pași:
Pas 1. Identificăm două triunghiuri așa încât fiecare să aibă ca laturi câte unul din cele două segmente, respectiv să aibă ca unghiuri câte unul din cele două unghiuri.
Pas 2. Demonstrăm că cele două triunghiuri sunt congruente folosind unul dintre cazurile de congruență.
Pas 3. Deducem că laturile respectiv unghiurile celor două triunghiuri sunt congruente, deci și congruența segmentelor respectiv congruența unghiurilor vizate.
Pas 1. Identificăm două triunghiuri așa încât fiecare să aibă ca laturi câte unul din cele două segmente, respectiv să aibă ca unghiuri câte unul din cele două unghiuri.
Pas 2. Demonstrăm că cele două triunghiuri sunt congruente folosind unul dintre cazurile de congruență.
Pas 3. Deducem că laturile respectiv unghiurile celor două triunghiuri sunt congruente, deci și congruența segmentelor respectiv congruența unghiurilor vizate.
Știm să aplicăm, identificăm conexiuni
Un rezultat util în folosirea metodei triunghiurilor congruente este dat de aplicația 1.
Aplicația 1. În triunghiuri congruente, la laturi congruente se opun unghiuri congruente.
Rezolvare. Fie triunghiurile congruente ABC și
MNP.
Ipoteză: ∆ ABC ≡ ∆ MNP
Concluzie: la laturi congruente, se opun unghiuri congruente
Ipoteză: ∆ ABC ≡ ∆ MNP
Concluzie: la laturi congruente, se opun unghiuri congruente
| ∆ ABC ≡ ∆ MNP | ||||
| Latura ∆ ABC | Unghiul opus | Latura ∆ MNP | Unghiul opus | Laturile corespunzătoare sunt congruente dacă și numai dacă unghiurile opuse acestor laturi sunt congruente. |
| AB | ∢C | MN | ∢P | AB ≡ MN dacă și numai dacă ∢C ≡ ∢P |
| AC | ∢B | MP | ∢N | AC ≡ MP dacă și numai dacă ∢B ≡ ∢N |
| BC | ∢A | NP | ∢M | BC ≡ NP dacă și numai dacă ∢A ≡ ∢M |
Observație.
Rezultatul de mai sus are loc doar în triunghiuri congruente!
Aplicația 2. În triunghiul MNP, NA ⊥ MP, A ∈ MP, PB ⊥ MN, B ∈MN și NA ≡ PB.
Demonstrați că MN ≡ MP.
Ipoteză: ∆ MNP, NA ⊥ MP, A ∈ MP, PB ⊥ MN, B ∈MN și NA ≡ PB.
Concluzie: MN ≡ MP.
Demonstrație. Considerăm ∆MAN și ∆MBP, dreptunghice.
∆MAN ≡ ∆MBP. Cum ∢MAN ≡ ∢MBP, rezultă MN ≡ MP.
Demonstrați că MN ≡ MP.
Ipoteză: ∆ MNP, NA ⊥ MP, A ∈ MP, PB ⊥ MN, B ∈MN și NA ≡ PB.
Concluzie: MN ≡ MP.
Demonstrație. Considerăm ∆MAN și ∆MBP, dreptunghice.
NA ∢ PB (din ipoteză)
∢AMN ∢ BMP∢ (unghi comun)
∢AMN ∢ BMP∢ (unghi comun)
∆MAN ≡ ∆MBP. Cum ∢MAN ≡ ∢MBP, rezultă MN ≡ MP.
204
Matematică • Manual pentru clasa a VI-a