6.4. Metoda triunghiurilor congruente. Aplicații

Proprietatea punctelor de pe bisectoarea unui unghi.
Proprietatea punctelor de pe mediatoarea unui segment

Aplicând metoda triunghiurilor congruente vom demonstra caracterizări matematice importante, pe care le-am intuit în lecțiile anterioare, caracterizări ale punctelor situate pe bisectoarea unui unghi și ale punctelor situate pe mediatoarea unui segment.

Descoperim, înțelegem, exemplificăm

Aplicația 1.	În limbajul simbolisticii matematice	Reprezentare geometrică
a) Orice punct al bisectoarei unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului. b) Orice punct situat în interiorul unui unghi, egal depărtat de laturile acestuia, este situat pe bisectoarea unghiului.	Fie b bisectoarea unghiului xOy, M un punct situat în interiorul unghiului și MP ⊥ Ox, P ∈ Ox, MQ ⊥ Oy, Q ∈Oy. a) Dacă M ∈ b, atunci MP ≡ MQ. b) Dacă MP ≡ MQ, atunci M ∈ b.

a) Ipoteză: b bisectoarea unghiului xOy și M ∈ b.	Concluzie: MP ≡ MQ
Demonstrație explicită Considerăm ∆MPO și ∆MQO, în care MP respectiv MQ sunt laturi. MO ≡ MO (ipotenuza comună). (1) Din b bisectoarea unghiului xOy și M ∈ b, rezultă ∢POM ≡ ∢QOM. (2) Din (1) și (2), conform cazului de congruență IU, rezultă ∆MPO ≡ ∆MQO, deci elementele corespunzătoare sunt respectiv congruente. Catetele MP și MQ sunt laturi corespunzătoare în cele două triunghiuri, deci MP ≡ MQ.	Redactare în limbajul simbolisticii matematice În triunghiurile dreptunghice MPO și MQO: MO ≡ MO (latură comună) ∢POM ≡ ∢QOM (b bisectoare) ∆MPO ≡ ∆MQO. ∆MPO ≡ ∆MQO ⇒ MP ≡ MQ.
b) Ipoteză: b bisectoarea unghiului xOy, M∈Int(∢xOy) și MP ≡ MQ.	Concluzie: M ∈ b
Demonstrație explicită Considerăm ∆MPO și ∆MQO, în care identificăm unghiul POM, respectiv QOM. MO ≡ MO (ipotenuza comună). (1) MP ≡ MQ (din ipoteză) (2) Din (1) și (2), conform cazului de congruență IC, rezultă ∆MPO ≡ ∆MQO, deci elementele corespunzătoare sunt respectiv congruente. Unghiurile care se opun catetelor congruente MP și MQ sunt ∢POM și ∢QOM. Prin urmare, ∢POM ≡ ∢QOM, deci M ∈ b.	Redactare în limbajul simbolisticii matematice În triunghiurile dreptunghice MPO și MQO: MO ≡ MO (latură comună) MP ≡ MQ (din ipoteză) ∆MPO ≡ ∆MQO. ∆MPO ≡ ∆MQO ⇒ ∢POM ≡ ∢QOM, deci M ∈ b.

Cele două enunțuri demonstrate conduc la:

Teorema de caracterizare a punctelor de pe bisectoarea unui unghi
Un punct din interiorul unui unghi aparține bisectoarei unghiului dacă și numai dacă este situat la distanță egală de laturile acestuia.

În limbajul simbolisticii matematice
Fie b bisectoarea unghiului AOB, M un punct situat în interiorul unghiului și MP ⊥ OA, P ∈ OA, MQ ⊥ OB, Q ∈ OB.
Atunci, M ∈ b dacă și numai dacă MP ≡ MQ.

206

Matematică • Manual pentru clasa a VI-a

Cuprins: