×

Cuprins:

Reținem!
Bisectoarea unui unghi este mulțimea punctelor din plan situate în interiorul unghiului, la distanță egală de laturile acestuia.
Aplicația 2.
a) Orice punct al mediatoarei unui segment este egal depărtat de capetele segmentului. b) Orice punct din plan, egal depărtat de capetele unui segment este situat pe mediatoarea acestuia.
În limbajul simbolisticii matematice
Fie d mediatoarea segmentului AB și M un punct în plan.
a) Dacă M ∈ d, atunci MA ≡ MB.
b) Dacă MA ≡ MB, atunci M ∈ d.
Imagine
a) Ipoteză: d mediatoarea segmentului AB și M ∈ d.
Concluzie: MA ≡ MB
Demonstrație explicită
Dacă A, B, M sunt coliniare, atunci M este mijlocul segmentului AB, deci MA ≡ MB.
Dacă A, B, M sunt necoliniare, considerăm {M0} = AB ⋂ d. Atunci, M0 este mijlocul segmentului AB și MM0 ⊥ AB.
În triunghiurile MAM0 și MBM0, identificăm: ∢MM0A = ∢MM0B = 90°, M0A ≡ M0B (M0 mijloc) și MM0 ≡ MM0 (latură comună).
Conform cazului de congruență CC, rezultă ∆MAM0 ≡ ∆MBM0.
Din congruența celor două triunghiuri, rezultă congruența celorlalte trei perechi de elemente corespunzătoare ale triunghiurilor.
Obținem astfel și MA ≡ MB. 		Redactare în limbajul simbolisticii matematice
Dacă A, B, M sunt coliniare, atunci M este mijlocul segmentului AB, deci MA ≡ MB.
Dacă A, B, M sunt necoliniare, considerăm: {M0} = AB ⋂ d. Atunci, MM0 ⊥ AB și M0A ≡ M0B.
În ∆MAM0 și ∆MBM0 , cu ∢MM0A = ∢MM0B = 90°, avem:
M0A ≡ M0B
MM0 ≡ MM0 (latură comună)
⇒∆MAM0 ≡ ∆MBM0.
∆MAM0 ≡ ∆MBM0 ⇒ MA ≡ MB.
b) Ipoteză: d mediatoarea segmentului AB și MA ≡ MB.
Concluzie: M ∈ d
Demonstrație explicită
Dacă A, B, M sunt coliniare, atunci M este mijlocul segmentului AB, deci M ∈ d.
Dacă A, B, M sunt necoliniare, considerăm M0 mijlocul segmentului AB și luăm în considerare triunghiurile MAM0 și MBM0, în care identificăm: MA ≡ MB (din ipoteză), M0A ≡ M0B (M0 mijloc) și MM0 ≡ MM0 (latură comună). Conform cazului de congruență LLL, rezultă ∆MAM0 ≡ ∆MBM0.
Din congruența celor două triunghiuri, rezultă congruența celorlalte trei perechi de elemente corespunzătoare.
Obținem astfel și ∢MM0A ≡ ∢MM0B. (1) ∢MM0A și ∢MM0B sunt adiacente, suplementare. (2)
Din (1) și (2), rezultă ∢MM0A = ∢MM0B = 90°, adică MM0 ⊥ AB, deci M ∈ d. 		Redactare în limbajul simbolisticii matematice Dacă A, B, M sunt coliniare, atunci M este mijlocul segmentului AB, deci M ∈ d.
Dacă A, B, M sunt necoliniare, fie M0 ∈ AB, M0A ≡ M0B. Atunci,
M0A ≡ M0B
MM0 ≡ MM0 (latură comună)
MA ≡ MB (din ipoteză)
⇒∆MAM0 ≡ ∆MBM0.
∆MAM0 ≡ ∆MBM0 ⇒∢MM0A ≡ ∢MM0B.
Cum ∢AM0B = 180° și ∢AM0B = ∢MM0A + ∢MM0B, rezultă ∢MM0A = ∢MM0B = 90°, adică MM0 ⊥ AB, deci M ∈ d.
Cele două enunțuri demonstrate conduc la:
Teorema de caracterizare a punctelor de pe mediatoarea unui segment
Un punct din plan aparține mediatoarei unui segment dacă și numai dacă este situat la distanță egală de capetele acestuia. 		În limbajul simbolisticii matematice
Fie d mediatoarea segmentului AB și M un punct în plan. Atunci, M ∈ d dacă și numai dacă MA ≡ MB.
Capitolul 6 • Triunghiul
207

Concurenta mediatoarelor și a bisectoarelor