Reținem!
Mediatoarea unui segment este mulțimea punctelor din plan, situate la distanță egală de capetele acestuia.
Știm să aplicăm, identificăm conexiuni
Suntem acum în măsură să demonstrăm două rezultate, intuite în lecțiile anterioare, prin măsurare și
construcție cu ajutorul instrumentelor geometrice.
Aplicația 3
Bisectoarele unghiurilor unui
triunghi sunt concurente.
Fie I intersecția dintre bisectoarea unghiului ∢BAC și
bisectoarea unghiului ∢ABC și fie IA' ⊥ BC, IB' ⊥ AC,
IC' ⊥ AB. Punctele A', B', C' sunt pe laturile triunghiului.
Deoarece I este pe bisectoarea ∢BAC, rezultă IB′ ≡ IC′. Deoarece I este pe bisectoarea ∢ABC, rezultă IA′ ≡ IC′. Din IB′ ≡ IC′și IA′ ≡ IC′, rezultă IB′ ≡ IA′, adică I este situat pe bisectoarea ∢ACB. Am folosit rezultatul demonstrat la aplicația 1.
Deoarece I este pe bisectoarea ∢BAC, rezultă IB′ ≡ IC′. Deoarece I este pe bisectoarea ∢ABC, rezultă IA′ ≡ IC′. Din IB′ ≡ IC′și IA′ ≡ IC′, rezultă IB′ ≡ IA′, adică I este situat pe bisectoarea ∢ACB. Am folosit rezultatul demonstrat la aplicația 1.
Aplicația 4
Mediatoarele laturilor unui
triunghi sunt concurente.
Fie O intersecția dintre mediatoarea laturii BC și
mediatoarea laturii AB.
Deoarece OA′ este mediatoarea segmentului BC, rezultă OB ≡ OC.
Deoarece OC′ este mediatoarea segmentului AB, rezultă OB ≡ OA.
Din OB ≡ OC și OB ≡ OA, rezultă OA ≡ OC , adică O este situat pe mediatoarea segmentului AC. Am folosit aplicația 2.
Deoarece OA′ este mediatoarea segmentului BC, rezultă OB ≡ OC.
Deoarece OC′ este mediatoarea segmentului AB, rezultă OB ≡ OA.
Din OB ≡ OC și OB ≡ OA, rezultă OA ≡ OC , adică O este situat pe mediatoarea segmentului AC. Am folosit aplicația 2.
Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm
1.
Triunghiul AMN este dreptunghic, ∢MAN = 90° și
MB este bisectoarea unghiului ∢AMN, B ∈ AN. Fie
C piciorul perpendicularei din B pe dreapta MN.
Demonstrați că triunghiul ABC este isoscel.
2.
Punctele A, B, P sunt necoliniare. Perpendiculara
în A pe dreapta AP intersectează perpendiculara
în B pe dreapta PB în punctul I.
a)
Demonstrați că dacă ∢API ≡ ∢BPI, atunci AI ≡ BI.
b)
Știind că ∢AIP≡∢BIP, demonstrați că AP ≡ BP.
3.
Segmentele AB și CD au punctul comun O. În
interiorul unghiului AOC se consideră punctul
M, egal depărtat de laturile unghiului AOC,
iar în interiorul unghiului BOD se consideră
punctul N, egal depărtat de laturile unghiului
BOD. Demonstrați că punctele M, O și N sunt
coliniare.
4.
Fie triunghiul ABC, ∢ABC = 90° și D simetricul
punctului C față de punctul B.
Demonstrați că AC ≡ AD.
Demonstrați că AC ≡ AD.
5.
În triunghiul ABC, dreapta AD este mediatoarea
laturii BC, D∈BC. Pe segmentul AD, se consideră
punctele distincte M și N.
Arătați că ∢MBN ≡ ∢MCN.
Arătați că ∢MBN ≡ ∢MCN.
6.
Fie O un punct situat pe mediatoarea segmentului
AB.
a)
Reprezentați geometric cercul C(O, AO).
b)
Demonstrați că punctul B este situat pe cercul
de centru O și rază OA.
7.
Mediatoarea laturii DE a triunghiului DEF intersectează
segmentul DF în punctul P, iar O este
punctul de intersecție a mediatoarelor triunghiului.
Demonstrați că:
a)
DF = PF + PE;
b)
triunghiurile DOP și EOP au același perimetru.
8.
În triunghiul ABC, ∢A = 2·∢B, iar mediatoarea
laturii AB, intersectează AB în punctul D și BC în
punctul E. Demonstrați că:
a)
∆ADE ≡ ∆BDE;
b)
AE este bisectoarea unghiului BAC.
208
Matematică • Manual pentru clasa a VI-a
