Demonstrație: Fie M mijlocul laturii BC. Atunci, AM este mediana din A. (1)
Din AM ⊥ BC și M mijlocul laturii BC, rezultă AM este mediatoarea laturii BC. (4)
Obținem:
∢MAB ≡ ∢MAC, adică AM este bisectoarea unghiului A. (2)
∢AMB ≡ ∢AMC. Dar, ∢AMB și ∢AMC sunt adiacente suplementare, deci ∢AMB = ∢AMC = 90°.
Atunci, AM ⊥ BC, adică AM este înălțime a triunghiului. (3)
∢AMB ≡ ∢AMC. Dar, ∢AMB și ∢AMC sunt adiacente suplementare, deci ∢AMB = ∢AMC = 90°.
Din AM ⊥ BC și M mijlocul laturii BC, rezultă AM este mediatoarea laturii BC. (4)
Temă de portofoliu. Demonstrați, aplicând metoda triunghiurilor congruente, că:
Dacă sunt satisfăcute oricare două dintre condițiile (1), (2), (3), (4), atunci triunghiul ABC este isoscel, cu baza BC.
Dacă sunt satisfăcute oricare două dintre condițiile (1), (2), (3), (4), atunci triunghiul ABC este isoscel, cu baza BC.
Reținem!
Pentru a demonstra că un triunghi este isoscel, este suficient ca două dintre liniile importante ale triunghiului
să se suprapună (mediană și mediatoarea sau mediana și bisectoarea sau mediana și înălțimea sau mediatoarea
și bisectoarea sau mediatoarea și înălțimea sau bisectoarea și înălțimea).
Baza triunghiului este latura corespunzătoare liniilor importante suprapuse.
Baza triunghiului este latura corespunzătoare liniilor importante suprapuse.
Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm
1.
Construiți triunghiul isoscel ABC cu baza BC, în
următoarele cazuri:
a)
BC = 5 cm şi ∢B = 75°;
b)
AB = 6 cm şi ∢A = 50°.
2.
Fie triunghiul ABC cu AB = 5 cm, BC = 7 cm și
perimetrul de 19 cm. Demonstrați că triunghiul
este isoscel. Precizați baza triunghiului.
3.
Triunghiul DEF are unghiurile ∢D = 65° și
∢F = 50°. Demonstrați că triunghiul este isoscel.
Precizați baza triunghiului.
4.
Calculați măsurile unghiurilor unui triunghi
isoscel știind că unul dintre unghiuri are măsura:
a)
48°;
b)
90°;
c)
125°.
5.
Triunghiul ABC este isoscel cu AB ≡ AC, iar D este
un punct situat pe latura BC.
Copiați pe caiete și completați spațiile punctate astfel încât să obțineți propoziții adevărate:
Copiați pe caiete și completați spațiile punctate astfel încât să obțineți propoziții adevărate:
a)
Dacă ∢BAD ≡ ∢CAD și BC = 10 cm, atunci
CD = … cm.
b)
Dacă BD ≡ CD și ∢BAD = 20°, atunci ∢BAC = … °.
c)
Dacă AD ⊥ BC și BD = 3,5 cm, atunci
CD = … cm și BC = … cm.
d)
Dacă AD ⊥ BC și ∢B = 52°, atunci ∢CAD = …°.
e)
Dacă ∢BAD ≡ ∢CAD, atunci ∢ADB = …°.
f)
Dacă ∢ADC = 90° și ∢BAC = 130°, atunci
∢BAD = …°.
6.
În interiorul triunghiului isoscel ABC cu baza BC,
se consideră punctul P.
a)
Știind că BP ≡ CP, demonstrați că AP ⊥ BC.
b)
Știind că ∢BAP ≡ ∢CAP, demonstrați că BP ≡ CP.
c)
Demonstrați că dacă AP este bisectoarea unghiului
BAC și AP ⋂ BC = {D}, atunci semidreapta
PD este bisectoarea unghiului BPC.
7.
Demonstrați că în orice triunghi isoscel au loc
afirmațiile:
a)
Medianele corespunzătoare laturilor congruente
ale unui triunghi isoscel sunt congruente.
b)
Înălțimile corespunzătoare laturilor congruente
ale unui triunghi isoscel sunt congruente.
8.
Demonstrați că unghiurile alăturate bazei unui
triunghi isoscel sunt ascuțite.
210
Matematică • Manual pentru clasa a VI-a