9.
În triunghiul DEF, DE ≡ DF și ∢EDF = 36°.
Bisectoarea unghiului DEF intersectează latura
DF în punctul M. Demonstrați că triunghiurile
DEM și EFM sunt isoscele.
10.
Triunghiul APQ este isoscel. Calculați lungimea
laturii PQ, pentru următoarele date, analizând
toate cazurile posibile.
a)
AP = 13 cm, AQ = 17,5 cm;
b)
AP = 50 mm, AQ = 10 cm.
11.
Triunghiul ABC este isoscel și D este un punct
situat pe baza BC a triunghiului. Se construiesc
DE ⊥ AB, E ∈ AB și DF ⊥ AC, F ∈ AC. Știind că
DE = DF, demonstrați:
a)
∆ ADE ≡ ∆ ADF.
b)
∆ DEF este isoscel.
12.
În triunghiul MNP, unghiul exterior cu vârful în
M are măsura 135° și ∢N = 2 · ∢P. Demonstrați că
triunghiul MNP este isoscel.
13.
O dreaptă d, paralelă cu baza AC a triunghiului
isoscel ABC, intersectează laturile AB și BC în
punctele P, respectiv Q. Demonstrați că:
a)
∢APQ ≡ ∢CQP;
b)
AP ≡ CQ.
14.
Triunghiul ABC este isoscel, cu AB = AC.
Semidreapte AD este bisectoare a unui unghi
exterior al triunghiului.
a)
Demonstrați că AD ∥ BC.
b)
Calculați măsurile unghiurilor triunghiului,
știind că ∢CAD = 100°.
15.
Bisectoarele unghiurilor A și B ale triunghiului
ABC se intersectează în punctul I.
Paralela prin I la dreapta AB intersectează latura BC în punctul M și latura AC în punctul N.
Paralela prin I la dreapta AB intersectează latura BC în punctul M și latura AC în punctul N.
a)
Demonstrați că triunghiurile ANI și BMI sunt
isoscele.
b)
Decideți, argumentat, dacă are loc egalitatea
BM + AN = MN.
Minitest
1.
Alegeți litera care indică varianta corectă. Doar un răspuns este corect.
15 p
a)
Baza unui triunghi isoscel are lungimea de 13 cm, iar perimetrul triunghiului este egal cu 34 cm.
Atunci, fiecare din celelalte laturi are lungimea:
Atunci, fiecare din celelalte laturi are lungimea:
A.
105 mm;
B.
11 cm;
C.
102 mm;
D.
15 cm.
15 p
b)
Segmentul AD este înălțime a triunghiului ABC în care AB = AC. Dacă ∢BAD = 35°, atunci unghiul
ACD are măsura:
A.
35°;
B.
55°;
C.
70°;
D.
90°.
30 p
2.
Demonstrați că într-un triunghi isoscel, mediatoarea corespunzătoare bazei conține vârful opus
bazei triunghiului.
30 p
3.
Calculați măsurile unghiurilor triunghiului isoscel ABC, știind că ∢A + ∢B = 136°. Analizați toate
cazurile posibile.
Notă:
Timp de lucru 20 de minute.
Se acordă 10 puncte din oficiu.
Se acordă 10 puncte din oficiu.
L3
Proprietăți ale triunghiului echilateral
Ne amintim
Un triunghi care are toate laturile congruente se
numește triunghi echilateral .
∆ ABC este echilateral dacă AB ≡ AC ≡ BC.
Orice triunghi echilateral este isoscel cu baza oricare
dintre laturile sale.
Dacă ∆ ABC este echilateral, atunci ∆ ABC este isoscel.
Centrul cercului circumscris unui triunghi este punctul în care se intersectează mediatoarele laturilor acestuia.
Centrul de greutate al unui triunghi este punctul în care se intersectează medianele acestuia.
Ortocentrul unui triunghi este punctul în care se intersectează dreptele suport ale înălțimilor acestuia.
Capitolul 6 • Triunghiul
211
Exersează!
Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor:
Un triunghi isoscel are două laturi congruente.
Un triunghi isoscel nu are unghiuri congruente.
Într-un triunghi isoscel bisectoarea unghiului format de laturile congruente este și înălțime.
Într-un triunghi isoscel, mediana corespunzătoare bazei este și bisectoarea unghiului format de laturile congruente.
Într-un triunghi isoscel, mediatoarea corespunzătoare bazei conține mijloacele laturilor congruente.
Exersează!
Alegeți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect.