Descoperim, înțelegem, exemplificăm
Aplicația 1.
a)
Unghiurile oricărui triunghi echilateral sunt congruente și au măsura de 60°.
b)
Un triunghi care are toate unghiurile congruente este triunghi echilateral.
a) Ipoteză:
În ∆ ABC, AB ≡ AC ≡ BC.
Concluzie: ∢A = ∢B = ∢C = 60°.
În ∆ ABC, AB ≡ AC ≡ BC.
Concluzie: ∢A = ∢B = ∢C = 60°.
Demonstrație:
AB ≡ AC ⇒ ∢B ≡ ∢C (unghiuri alăturate bazei triunghiului isoscel) (1)
BA ≡ BC ⇒ ∢A ≡ ∢C (unghiuri alăturate bazei triunghiului isoscel) (2)
Din (1) și (2), rezultă ∢A ≡ ∢B ≡ ∢C. Dar, ∢A + ∢B + ∢C = 180°, deci ∢A = ∢B = ∢C = 60°.
AB ≡ AC ⇒ ∢B ≡ ∢C (unghiuri alăturate bazei triunghiului isoscel) (1)
BA ≡ BC ⇒ ∢A ≡ ∢C (unghiuri alăturate bazei triunghiului isoscel) (2)
Din (1) și (2), rezultă ∢A ≡ ∢B ≡ ∢C. Dar, ∢A + ∢B + ∢C = 180°, deci ∢A = ∢B = ∢C = 60°.
b) Ipoteză:
În ∆ ABC, ∢A = ∢B = ∢C.
Concluzie: AB ≡ AC ≡ BC.
În ∆ ABC, ∢A = ∢B = ∢C.
Concluzie: AB ≡ AC ≡ BC.
Demonstrație:
∢A = ∢B ⇒ ∆ ABC isoscel, cu baza AB, adică CA ≡ CB. (1)
∢B = ∢C ⇒ ∆ ABC isoscel, cu baza BC, adică AB ≡ AC. (2)
Din (1) și (2), AB ≡ AC ≡ BC, deci ∆ ABC este echilateral.
∢A = ∢B ⇒ ∆ ABC isoscel, cu baza AB, adică CA ≡ CB. (1)
∢B = ∢C ⇒ ∆ ABC isoscel, cu baza BC, adică AB ≡ AC. (2)
Din (1) și (2), AB ≡ AC ≡ BC, deci ∆ ABC este echilateral.
Reținem!
Toate unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente și au măsura 60°.
Un triunghi care are toate unghiurile congruente este triunghi echilateral.
Un triunghi care are toate unghiurile congruente este triunghi echilateral.
| Aplicația 2. Un triunghi isoscel care are un unghi de 60° este echilateral. | ||
|
Interpretarea enunțului:
Fie ∆ ABC isoscel, cu baza BC. Sunt posibile două situații: 1. Unghiul de 60° este opus bazei; 2. Unghiul de 60° este alăturat bazei. |
|
|
|
Cazul 1.
Ipoteză: În ∆ ABC, AB ≡ AC și ∢A = 60°. Concluzie: ∆ ABC este echilateral. |
Demonstrație: AB ≡ AC ⇒ ∢B ≡ ∢C (unghiuri alăturate bazei) (1)
Dar, ∢A + ∢B + ∢C = 180°, deci ∢B + ∢C = 120°.
Folosind (1), rezultă ∢B = ∢C = 60°. Conform Aplicației 1, ∆ ABC este echilateral. |
|
|
Cazul 2.
Ipoteză: În ∆ ABC, AB ≡ AC și ∢B = 60°. Concluzie: ∆ ABC este echilateral. |
Demonstrație: AB ≡ AC ⇒ ∢B ≡ ∢C (unghiuri alăturate bazei),
deci ∢C = 60°. Dar, ∢A + ∢B + ∢C = 180°, adică ∢A + 120° = 180°,
deci ∢A = 60°. Conform Aplicației 1, ∆ABC este echilateral.
este echilateral.
|
|
Știm să aplicăm, identificăm conexiuni
Aplicația 3. Într-un triunghi echilateral, pentru fiecare vârf, liniile importante corespunzătoare sunt situate
pe aceeași dreaptă.
Ipoteză:
∆ABC echilateral.
∆ABC echilateral.
Concluzie: Pentru fiecare vârf, bisectoarea
unghiului corespunzător, mediatoarea
și mediana corespunzătoare laturii
opuse și înălțimea din acel vârf sunt situate
pe aceeași dreaptă.
212
Matematică • Manual pentru clasa a VI-a
Liniile importante în triunghiul echilateral
Apasă butonul Redă şi priveşte cu atenţie.