Demonstrație: Tratăm triunghiul echilateral ABC, pe rând, ca fiind isoscel, cu baza BC, AC respectiv AB.
Fie M, N, P mijloacele laturilor BC, AC respectiv AB.
Din ∆ ABC isoscel, cu baza BC, rezultă semidreapta AM este bisectoare, dreapta AM este mediatoare, segmentul AM este și mediană și înălțime. (1)
Din ∆ ABC isoscel, cu baza AC, rezultă semidreapta BN este bisectoare, dreapta BN este mediatoare, segmentul BN este și mediană și înălțime. (2)
Din ∆ ABC isoscel, cu baza AB, rezultă semidreapta CP este bisectoare, dreapta CP este mediatoare, segmentul CP este și mediană și înălțime. (3)
Fie M, N, P mijloacele laturilor BC, AC respectiv AB.
Din ∆ ABC isoscel, cu baza BC, rezultă semidreapta AM este bisectoare, dreapta AM este mediatoare, segmentul AM este și mediană și înălțime. (1)
Din ∆ ABC isoscel, cu baza AC, rezultă semidreapta BN este bisectoare, dreapta BN este mediatoare, segmentul BN este și mediană și înălțime. (2)
Din ∆ ABC isoscel, cu baza AB, rezultă semidreapta CP este bisectoare, dreapta CP este mediatoare, segmentul CP este și mediană și înălțime. (3)
Temă de portofoliu. Demonstrați că dacă pentru două vârfuri, două dintre liniile importante ale triunghiului
se suprapun, atunci triunghiul este echilateral.
Reținem!
Pentru a demonstra că un triunghi este echilateral, este suficient ca pentru două vârfuri, două dintre liniile
importante ale triunghiului să se suprapună (mediană și mediatoarea sau mediana și bisectoarea sau mediana
și înălțimea sau mediatoarea și bisectoarea sau mediatoarea și înălțimea sau bisectoarea și înălțimea).
Aplicația 3 conduce la următorul rezultat important:
Într-un triunghi echilateral, centrul cercului înscris în triunghi, centrul cercului circumscris triunghiului, centrul
de greutate și ortocentrul triunghiului coincid.
Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm
1.
Construiţi:
a)
triunghiul echilateral ABC cu laturile de 4 cm;
b)
triunghiul echilateral PQR cu înălţimea de 3 cm.
2.
Fie triunghiul echilateral DEF. O dreaptă paralelă
cu latura EF intersectează laturile DE și DF în
punctele M, respectiv N. Arătați că triunghiul
DMN este echilateral.
3.
În triunghiul ABC, AB = AC = 37 cm, iar perimetrul
triunghiului este 111cm. Arătați că triunghiul ABC
este echilateral.
4.
Ana și Diana observă datele despre lungimile laturilor
și măsurile unghiurilor triunghiurilor din tabel.
Ana spune că trei dintre triunghiuri sunt echilaterale.
Diana afirmă că toate triunghiurile sunt
echilaterale. Stabiliți, argumentat, cine a răspuns
corect.
| ∆ABC | AB = 3 cm, BC = 30 mm, CA = 0,3 dm |
| ∆DEF | ∢D = ∢E = 2 · ∢F |
| ∆GHI | GH = GI = 4,5 cm și P∆ GHI = 13,5 cm |
| ∆LMN | ∢L = ∢M și MN = LM |
5.
Demonstrați că triunghiul în care lungimea
fiecărei laturi este media aritmetică a lungimilor
celorlalte laturi este un triunghi echilateral.
6.
Fie triunghiul echilateral ABC și
punctele M, N pe latura BC astfel
încât ∢BAM ≡ ∢MAN ≡ ∢NAC.
Calculați măsura unghiului AMN.
7.
Fie triunghiul MNP în care ∢M ≡ ∢N ≡ ∢P. Pe
laturile MN, NP, PM se fixează punctele A, B,
respectiv C cu MA ≡ NB ≡ PC. Demonstrați că
triunghiul ABC este echilateral.
8.
Triunghiurile DEF și DPQ sunt echilaterale, P ∈ DE
și Q ∈ DF. Demonstrați că PQ ∥ EF.
9.
În triunghiul echilateral ABC, BD este înălțime, CE
este mediană și BD ∩ CE = {O}. Demonstrați că:
a)
triunghiul ADE este echilateral;
b)
AO ⊥ DE;
c)
punctele A, O și mijlocul laturii BC sunt
coliniare.
Capitolul 6 • Triunghiul
213
