Pasul 3. Dacă D este simetricul punctului C față de AB, avem CD ⊥ AB. Cum CA ⊥ AB, rezultă C, A, D sunt coliniare, iar A este piciorul perpendicularei din C pe AB. Tot din simetrie, avem AC ≡ AD. Considerăm ∆ABC și ∆ABD, dreptunghice. AB ≡ AB și AC ≡ AD. Conform cazului de congruență CC, rezultă ∆ABC ≡ ∆ABD. Rezultă ∢ABD = ∢ABC = 30°, adică ∆ABD este dreptunghic în A, cu ∢ABD = 30°.
Pasul 4. Din ∆ ABC ≡ ∆ ABD, rezultă BC ≡ BD, deci ∆ BCD este isoscel. Dar, ∢ABC și ∢ABD sunt adiacente cu ∢ABC= 30° și ∢ABD = 30°, deci ∢CBD = 60°. Triunghiul BCD este isoscel cu un unghi de 60°, adică este echilateral.
Pasul 5. În trunghiul echilateral BCD: BC = CD = BD, iar A este mijlocul laturii CD. Prin urmare, AC =
CD/2
= BC/2
| Teorema 1. Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de 30° are lungimea egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei. |
Dacă în ∆ABC, ∢A = 90° și ∢B = 30°, atunci AC = BC/2 .
Dacă în ∆ ABC, ∢A = 90° și ∢C = 30°, atunci AB = BC/2 .
|
| Teorema 2. (reciproca teoremei 1) Dacă într-un triunghi, o latură este opusă unghiului de 30° și are lungimea egală cu jumătate din lungimea altei laturi, atunci triunghiul este dreptunghic. |
Dacă în ∆ABC, ∢B = 30° și AC = BC/2 , atunci ∢A = 90°.
Dacă în ∆ABC, ∢B = 30° și AC = AB/2 , atunci ∢C = 90°.
|
Temă de portofoliu. Formulați și rezolvați o activitate practică pentru a demonstra teorema 2.
Indicație. Pentru ∢B = 30°, construiți ∆ABD astfel încât C și D să fie de o parte și de alta a dreptei AB,
cu ∢ABD = 30° și BD = BC. Demonstrați că ∆ABD ≡ ∆ABC. Deduceți ∆BCD echilateral și AC + AD = CD.
Aplicația 2
Pasul 1. Reprezentați pe caiete un triunghi dreptunghic ABC cu ∢A = 90° și notați cu O mijlocul laturii BC.
Pasul 2. Reprezentați punctul D, simetricul punctului A față de O.
Pasul 3. Demonstrați că CD ∥ AB.
Pasul 4. Demonstrați că triunghiurile BAC și DCA sunt congruente.
Pasul 5. Deduceți, argumentat, că AO ≡
Pasul 1. Reprezentați pe caiete un triunghi dreptunghic ABC cu ∢A = 90° și notați cu O mijlocul laturii BC.
Pasul 2. Reprezentați punctul D, simetricul punctului A față de O.
Pasul 3. Demonstrați că CD ∥ AB.
Pasul 4. Demonstrați că triunghiurile BAC și DCA sunt congruente.
Pasul 5. Deduceți, argumentat, că AO ≡
AD/2
= BC/2
.
Pasul 3. Din construcție, rezultă punctele coliniare A, O, D și punctele coliniare B, O, C, deci ∢AOB și ∢DOC sunt opuse la vârf.
În triunghiurile AOB și DOC:
Punctul O este mijlocul segmentului BC, deci OB ≡ OC. (1)
Punctul O este mijlocul segmentului AD, deci OA ≡ OD. (2)
∢AOB și ∢DOC sunt opuse la vârf, deci ∢AOB ≡ ∢DOC. (3)
Punctul O este mijlocul segmentului AD, deci OA ≡ OD. (2)
∢AOB și ∢DOC sunt opuse la vârf, deci ∢AOB ≡ ∢DOC. (3)
Din (1), (2) și (3), conform criteriului de congruență LUL, rezultă ∆AOB ≡ ∆DOC, deci ∢BAO = ∢CDO. Atunci, dreptele CD și AB formează cu secanta AD unghiuri alterne interne congruente, adică CD ∥ AB.
Pasul 3. Din CD ∥ AB, rezultă că dreptele CD și AB formează cu secanta AC unghiurile BAC și DCA, interne de aceeași parte a secantei suplementare. Cum ∢BAC = 90°, obținem ∢DCA = 90°, adică ∆DCA este dreptunghic în C. În triunghiurile dreptunghice ∆BAC și ∆DCA: AB ≡ CD (din ∆AOB ≡ ∆DOC); AC ≡ CA (catetă comună). Conform cazului de congruență CC, rezultă ∆BAC ≡ ∆DCA.
Pasul 3. Din ∆ BAC ≡ ∆ DCA, rezultă BC ≡ DA. Dar, O este mijlocul segmentului AD, deci AO =
AD/2
= BC/2
.
| Teorema 3. Într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei are lungimea egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei. |
Dacă, în ∆ ABC, ∢A = 90° și AM este
mediană, atunci AM = = BC/2 .
|
| Teorema 5. (reciproca teoremei 3) Dacă într-un triunghi, mediana corespunzătoare unei laturi are lungimea egală cu jumătate din lungimea acelei laturi, atunci triunghiul este dreptunghic. |
Dacă, în ∆ ABC, AM este mediană și
AM = BC/2 , , atunci ∢A = 90°.
|
Temă de portofoliu. Formulați și rezolvați o activitate pentru a demonstra teorema 4.
Capitolul 6 • Triunghiul
215