1.3 Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale

Recapitulare și completări

Ne amintim

Numărul natural a se divide la numărul natural b sau este divizibil cu numărul natural b, dacă există un număr natural c astfel încât a = b · c. Scriem a ⋮ b sau b\|a.	Exemplu	Cum scriem	Cum citim
	6 = 3 · 2;	6 ⋮ 2 sau 6 ⋮ 3 sau 2 \| 6 sau 3 \| 6.	6 se divide la 2; 6 este divizibil cu 2; 6 se divide la 3; 6 este divizibil cu 3; 2 îl divide pe 6; 3 îl divide pe 6.

Observații.

1. 0 ⋮ b, oricare ar fi numărul natural b. (0 = b · 0)

2. a ⋮ 1 și a ⋮ a oricare ar fi numărul natural a. (a = 1 · a)

3. Dacă a ≠ 0, atunci a⟋ ⋮ 0 (0 nu este divizor al niciunui număr natural nenul).

4. Comentariu metodic.
Pentru a nu se crea confuzii, în clasa a VI-a, vom considera divizori doar numere naturale nenule.

Numărul a din relația a ⋮ b se numește multiplu al numărului b, iar b se numește divizor al numărului a.	Numărul 6 este multiplu al lui 2 și al lui 3. Numerele 2 și 3 sunt divizori ai lui 6.
Dacă a ≥ 2, atunci a are cel puțin doi divizori: numărul 1 și numărul a, care se numesc divizori improprii ai lui a. Dacă a mai are și alți divizori, aceștia se vor numi divizori proprii ai lui a.	Pentru numărul 6: 1 și 6 sunt divizori improprii; 2 și 3 sunt divizori proprii.

Un număr natural p ≥ 2 care are exact doi divizori (1 şi p) se numește număr prim.

Orice număr natural n ≥ 2 care nu este număr prim, se numește număr compus.

Observații.

1. Singurul număr par care este număr prim este numărul 2.

2. Numerele 0 şi 1 nu sunt nici numere prime și nici numere compuse.

3. Dacă p este număr prim, atunci p nu este pătrat perfect.

4. Numerele prime au doar divizori improprii.

5. Numerele compuse au cel puțin un divizor propriu.

Descoperim, înțelegem, exemplificăm

1. Notăm cu D_n mulțimea divizorilor numărului natural n și cu M_n mulțimea multiplilor numărului natural n. Pentru numerele 7, 12, 15, scrieți mulțimea D_n, apoi scrieți mulțimea M_n, evidențiind cele mai mici patru elemente ale acesteia.	D₇ = {1, 7}; D₁₂ = {1, 2, 3, 4, 6, 12}; D₁₅ = {1, 3, 5, 15}.	M₇ = {0, 7, 14, 21, …}; M₁₂ = {0, 12, 24, 36, …}; M₁₅ = {0, 15, 30, 45, …}.
	Observații. Mulțimea D_n este mulțime finită, oricare ar fi numărul natural nenul n. Mulțimea M_n este mulțime infinită, oricare ar fi numărul natural nenul n.

Capitolul 1 • Mulțimi. Mulțimea numerelor naturale