a) Scrieți submulțimea B ⊂ A, ale cărei elemente sunt numere naturale divizibile cu 2.

a) Numerele naturale divizibile cu 2 formează mulțimea multiplilor lui 2, notată M₂ . B = A ⋂ M₂ = {16, 26, 36, 46, 56, 66, 76, 86, 96}.

b) Scrieți submulțimea C ⊂ A, ale cărei elemente sunt numere naturale divizibile cu 3.

b) Numerele naturale divizibile cu 3 formează mulțimea multiplilor lui 3, notată M₃ . C = A ⋂ M₃ = {36, 39, 66, 69, 96, 99}.

c) Folosind rezultatele de la subpunctele a) și b), scrieți submulțimea D ⊂ A, ale cărei elemente sunt numere naturale divizibile cu 6.

c) Un număr natural se divide la 6, doar dacă se divide și la 2 și la 3, adică M₆ = M₂ ⋂ M₃ . Prin urmare, D = B ⋂ C = {36, 66, 96}.

d) Folosind rezultatele de la subpunctele a) și b), scrieți submulțimea E, ale cărei elemente sunt numere naturale divizibile cu cel puțin unul din numerele 2 sau 3.

d) Un număr natural se divide la cel puțin unul dintre numerele 2 și 3, doar dacă acesta aparține reuniunii M₂ ⋃M₃ . Atunci, E = A ⋂ (M₂ ⋃ M₃ ) sau E = B ⋃ C = {16, 26, 36, 39, 46, 56, 66, 69, 76, 86, 96}.

1. Dacă numărul natural p ≥ 2 este număr prim, atunci acesta are doar divizori improprii.
Dacă numărul natural p ≥ 2 are numai divizori improprii, atunci p este număr prim.

1. Dacă p ≥ 2 este număr prim, atunci D_p = {1, p}.
Dacă p ≥ 2 și D_p = {1, p}, atunci p este număr prim.

Exemplu: p = 11 este număr prim și D_p = D₁₁ = {1, 11}.

2. Toate numerele pare, diferite de 2, se divid la 2, deci au cel puțin un divizor propriu.

2. Oricare ar fi k ≥ 2, {1, 2, 2k} ⊂ D_2k .

Exemplu: 62 = 2 · 31, este număr par și D₆₂ = {1, 2, 31, 62}, deci {1, 2, 62} ⊂ D₆₂ .

3. Orice pătrat perfect, diferit de 0 și de 1 are cel puțin 3 divizori.

3. Dacă p ∈ ℕ, p ≥ 2, atunci {1, p, p₂ } ⊂ D _{p ²} .

Exemplu: 16 = 42 și D₁₆ = {1, 2, 4, 8, 16}, deci {1, 4, 42} ⊂ D₁₆ .

4. Dacă un număr natural este divizibil la două numere prime, atunci acesta este divizibil și la produsul lor. Dacă un număr natural este divizibil la produsul a două numere prime, atunci acesta este divizibil la fiecare dintre ele.

4. Dacă p și q sunt numere prime, atunci M_p ⋂ M_q ⊂ M_pq și M_pq ⊂ M_p ⋂ M_q . Rezultă M_p ⋂ M_q = M_pq .

Exemplu: Dacă a ⋮ 2 și a ⋮ 3, atunci a ⋮ 6, adică a ⋮ (2 · 3), deci M₂ ⋂ M₃ ⊂ M₆ . Pe de altă parte, dacă a ⋮ 6, atunci a ⋮ 3 și a ⋮ 2, deci M₆ ⊂ M₂ ⋂ M₃ . Prin urmare, M₂ ⋂ M₃ = M₆ .

5. Dacă p este număr prim, p | a și a este pătrat perfect, atunci p ² | a .

5. Dacă p este număr prim, p ∈ D_a și a este pătrat perfect, atunci p² ∈ D_a .

Exemplu: 5 | 100 și 100 este pătrat perfect. 5² = 25 și 25 | 100.

6. Dacă a este număr natural, iar p este număr prim astfel încât p ∣ a și p² ∤ a atunci a nu este pătrat perfect.

6. Dacă a ∈ ℕ, p este număr prim astfel încât p ∈ D_a și p ² ∤ a, atunci a nu este pătrat perfect.

Exemplu: Pentru a = 300 și p = 3, avem 3 ∤300, 3² ∤ 300, deci 300 nu este pătrat perfect, fapt confirmat și de relația 17₂ < 300 < 18² .