×

Cuprins:

L2
Descompunerea numerelor naturale în produs de numere prime
Ne amintim
Orice număr natural n ≥ 2 se poate scrie ca putere a unui număr prim sau ca produs de puteri cu bazele numere prime diferite.
Scrierea descrisă mai sus se numește descompunerea în factori primi a numărului n.
 2 = 21 ; 3 = 31 ; 5 = 51 ; 7 = 71 ;
10 = 21 · 51 ; 100 = 22 · 52 ; 1000 = 23 · 53 ;
12 = 22 · 31 ; 16 = 24 ; 15 = 31 · 51 ;
40 = 23 · 51 ; 75 = 31 · 52 .
Observație. Descompunerea în factori primi a unui număr natural este unică, făcând abstracție de ordinea factorilor.
40 = 23 · 51 = 51 · 23 ;
1000 = 23 · 53 = 53 · 23 .
Descoperim, înțelegem, exemplificăm
În practică, este avantajos să folosim algoritmul de descompunere în factori primi.
Acesta constă în parcurgerea etapelor formulate mai jos pentru numărul 98.
Algoritm
Succesiunea etapelor parcurse 		Divizori primi Interpretare
prin înmulțire prin împărțire
Pasul 1. Se identifică un divizor prim al numărului dat Pasul 2’. Se calculează câtul împărțirii numărului la divizorul identificat. 2 | 98 98 = 2· 49 98 : 2 = 49
Pasul 2. Se identifică un divizor prim al câtului obținut la pasul 1′. Pasul 2’. Se calculează câtul împărțirii câtului de la pasul 1’ la noul divizor identificat. 7 | 49 49 = 7· 7 49 : 7 = 7
Pasul 3. Se identifică un divizor prim al câtului obținut la pasul 2′. Pasul 3’. Se calculează câtul împărțirii câtului de la pasul 2’ la noul divizor identificat. 7 | 7 7 = 7· 1 7 : 7 = 1
Pasul 4, … .. Se continuă procedeul până când se obține câtul 1, apoi se scrie numărul ca produs de puteri de factori primi. 98 = 2 · 72
Algoritmul descris se folosește sub forma uneia din schemele prezentate mai jos.
Exemplu: Descompuneți în factori numerele 78 și 210.
Imagine
Imagine
Observație. Dacă numărul care urmează a fi descompus se divide la o putere a lui 10, atunci se recomandă folosirea proprietății 10n = 2n · 5n , obținând în acest fel doi dintre factorii descompunerii.
700 = 7 · 100 =
= 7 · (22 · 52) =
= 22 · 52 · 7.
26
Matematică • Manual pentru clasa a VI-a

Descompunerea în factori primi