×

Cuprins:

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni
Aplicația 1. Determinați suma a + b, știind că a și b sunt numere naturale, a este număr prim și a · b = 52.
Soluție. Din 52 = 22 · 13, folosind faptul că a este număr prim, rezultă că sunt posibile situațiile:
a) a = 2 și b = 26, deci a + b = 28; b) a = 13 și b = 4, deci a + b = 17.
În concluzie, a + b = 28 sau a + b = 17
Observații
1. Dacă numărul natural a este pătrat perfect, atunci, în descompunerea sa în factori primi, toți exponenții sunt numere pare.
1. Dacă a = 22 · 34 · 72 – n este pătrat perfect, atunci 2 – n este număr natural par, adică n ∈{0, 2}.
2. Dacă în descompunerea în factori primi a unui număr natural toți exponenții sunt numere pare, atunci acesta este pătrat perfect.
2. Exponenții tuturor factorilor primi ai descompunerii numărului b = 2202 · 3404 · 54 · 1720 sunt numere pare, deci b este pătrat perfect.
3. Dacă în descompunerea în factori primi a numărului natural a există cel puțin un factor al cărui exponent este impar, atunci a nu este pătrat perfect.
3. Numărul 32022 · 114044 · 54 · 173 nu este pătrat perfect pentru că, în descompunerea sa în factori primi, apare factorul 173 , al cărui exponent este impar.
Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm
1. Copiați pe caiete și completați tabelul următor, după modelul prezentat pentru numerele 30 respectiv 36.
Numărul Descompunerea
în factori primi 		Numărul Descompunerea
în factori primi
30 30 = 2 · 3 · 5 36 36 = 22 · 32
42 56
70 126
210 168
2. Scrieți ca produs de numere prime 15, 21, 22, 39, 51, 65.
3. Descompuneți în factori primi numerele naturale: 4, 6, 7, 10, 15, 20, 24, 45, 54, 63, 72, 88, 125, 169, 240, 576, 605, 1000, 105, 10n, n∈ℕ.
4. Determinați:
a) cel mai mic număr natural, care poate fi scris ca produs de doi factori primi diferiți;
b) cel mai mic număr natural, care poate fi scris ca produs de trei factori primi diferiți.
5. Scrieți ca produs de puteri de factori primi numerele:
a) 125, 169, 240, 576, 605, 1000, 105 , 10n , n ∈ ℕ;
b) 252 , 42 · 94 , 283 , (8 · 15)5 .
6.
a) Determinați diferența b − a, știind că a2 · b = 28, a, b ∈ ℕ.
b) Determinați suma a + b + c, știind că
a2 · b · c = 225 și că a > b ≥ c > 1, a, b, c ∈ ℕ.
7.
a) Descompuneți în factori primi numărul A = 54 · p, știind că p este număr prim și p > 3.
b) Descompuneți în factori primi numărul A = 54 · p, pentru fiecare din valorile p ∈ {2, 3}.
8. Determinați numerele prime a, b și c, știind că a · b + a · c = 25.
Capitolul 1 • Mulțimi. Mulțimea numerelor naturale
27

Exersează!

462

525

676

504

588

 

2•3•7•11

3•52•7

22•132

23•32 •7

22•3•72

Exersează!

Descompunerea în factori primi a numărului 750 este:





Scrierea 32•5•72 reprezintă descompunerea în factori primi a numărului:









Dacă a, b, c, d sunt numere prime distincte, atunci cel mai mic număr a • b • c • d este: