Descoperim, înțelegem, exemplificăm
| Rezultate imediate, utile în rezolvarea problemelor | Cum scriem în redactarea rezolvării | Exemple |
| Dacă n este număr natural nenul, atunci cel mai mare divizor comun al numerelor 0 și n este chiar numărul n. |
c.m.m.d.c. (0, n) = n, oricare ar fi
n ∈ ℕ*. (0, n) = n, oricare ar fi n ∈ ℕ*. |
(0, 1) = 1; (0, 2) = 2; (7, 0) = 7;
(0, 3) = 3; (0, 4) = 4; (9, 0) = 9; (0, 5) = 5; (0, 6) = 6; (0, 12) = 12; |
| Dacă a și b sunt numere naturale nenule și a | b, atunci cel mai mare divizor comun al numerelor a și b este numărul a. | Din a ∈ ℕ*, b ∈ ℕ* și a | b, rezultă (a, b) = a. |
(2, 4) = 2; (3, 9) = 3; (6, 12) = 6;
(9, 27) = 9; (5, 10) = 5; (8, 4) = 4; (6, 2) = 2; (3, 1) = 1; (6, 3) = 3. |
| Dacă n este număr natural nenul, atunci cel mai mare divizor comun al numerelor 1 și n este 1. | (1, n) = 1, oricare ar fi n ∈ ℕ*. |
(1, 2) = 1; (1, 3) = 1; (1, 6) = 1;
(1, 5) = 1; (1, 9) = 1; (1, 8) = 1; (10, 1) = 1; (11, 1) = 1; (12, 1) = 1. |
| Orice două numere prime diferite sunt prime între ele. | Din p 1 și p 2 numere prime și p 1 ≠ p 2 , rezultă (p1 , p2 ) = 1. |
(2, 3) = 1; (2, 5) = 1; (2, 7) = 1;
(3, 7) = 1; (5, 11) = 1; (7, 13) = 1. |
Știm să aplicăm, identificăm conexiuni
Se grupează elevii clasei în perechi. Un membru al perechii realizează sarcina S1, iar celălalt membru realizează
sarcina S2. Ultima parte a activității este comună.
S1: Parcurgeți pașii P2, P3, P4, apoi parcurgeți, împreună cu colegul de echipă, pasul P4’.
S2: Parcurgeți pașii P1, P3’, apoi parcurgeți, împreună cu colegul de echipă, pasul P4’.
|
Pasul 1.
Descompuneți numerele 84 și 90 în factori
primi.
|
Pasul 1.
txt
|
|
Pasul 2.
Scrieți mulțimea divizorilor fiecăruia din numerele
84 și 90.
|
Pasul 2.
D84 = {1, 2, 3, 7, 4, 6, 12, 14, 21, 28, 42, 84};
D90 = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}. |
|
Pasul 3.
Scrieți mulțimea divizorilor comuni ai numerelor
84 și 90.
|
Pasul 3.
D84 ⋂ D90 ={1, 2, 3, 6}.
|
|
Pasul 4.
Identificați, justificat, cel mai mare divizor
comun al numerelor 84 și 90.
|
Pasul 4.
1 < 2 < 3 < 6, (84, 90) = 6.
|
|
Pasul 3'.
Scrieți produsul factorilor primi comuni, cu exponentul
cel mai mic, care apar în descompunerile
de la pasul 1 și calculați produsul acestora.
|
Pasul 3'.
84 = 22 · 31 · 71; 90 = 21 · 32 · 51.
Calculăm produsul 21 · 31 = 6. |
|
Pasul 4'.
Comparați rezultatul obținut la pasul 3’ cu cel
obținut la pasul 4.
Stabiliți relația intre cel mai mare divizor comun și produsul
puterilor cu exponentul cel mai mic, ale numerelor
prime comune care apar în descompuneri.
|
P2 → P3 → P4 și respectiv P1 → P3’ conduc la același rezultat: (84, 90) = 6 sau (84, 90) = (22 · 31 · 71 , 21 · 32 · 51 ) = 21 · 31 = 6. |
Capitolul 1 • Mulțimi. Mulțimea numerelor naturale
29