×

Cuprins:

Minitest
20 p
1.
a) Un divizor comun al numerelor 18 și 27 este:
A. 2;
B. 3;
C. 6;
D. 12.
20 p
b) Cel mai mare divizor comun al numerelor 18 și 27 este:
a) 28 și 35;
b) 75 și 100;
c) 36 și 49;
d) 20, 30 și 40.
20 p
3. Determinați numărul prim cd, știind că este divizor comun al numerelor 460 și 138.
20 p
4. Determinați numerele naturale a și b, știind că a + b = 63 și (a, b) = 7.
Notă: Timp de lucru 20 de minute.
Se acordă 10 puncte din oficiu.
L4
Determinarea celui mai mic multiplu comun
Ne amintim
Interpretare, în limbajul mulțimilor
Dacă numerele naturale m, a și b verifică relațiile m ⋮ a și m ⋮ b, atunci numărul m este multiplu comun al numerelor a și b. Mulțimea multiplilor comuni ai numerelor naturale a și b este intersecția Ma ⋂ Mb .
Exemplu: Numărul 24 este multiplu comun al numerelor naturale 8 și 6 pentru că 24 ⋮ 8 și 24 ⋮ 6.
Mulțimea multiplilor comuni ai numerelor 6 și 8 este
M6 ⋂ M8 = {0, 6, 12, 18, 24, …}⋂{0, 8, 16, 24, …} = {0, 24, 48, …}.
Observație. Numărul 0 este multiplu comun al tuturor numerelor naturale. Scriem 0 ⋮ n sau 0∈Mn , oricare ar fi numărul natural n.
Numărul natural m care este multiplu comun al numerelor a și b și care este divizor al tuturor celorlalți multipli comuni ai numerelor a și b se numește cel mai mic multiplu comun al lor.
Ca și la c.m.m.d.c., în practică vom folosi reformulări sau adaptări ale enunțului de mai sus.
Cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale nenule a și b este cel mai mic număr natural nenul m cu proprietatea că m este multiplu comun al numerelor a și b. Scriem: c.m.m.m.c.[a, b] = m sau [a, b] = m.
Observație. Cel mai mic multiplu comun al mai multor numere este cel mai mic număr natural nenul care este multiplu comun al tuturor acestor numere.
Exemplu: Multiplii comuni nenuli ai numerelor 4 și 14 sunt: 28, 56, 84, 112, …, cel mai mic fiind 28. În concluzie, cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 și 14 este 28.
Scriem: c.m.m.m.c. [4, 14] = 28 sau [4, 14] = 28.
Exemplu: Cel mai mic multiplu comun 15, 9 și 10 este 90, pentru că:
M15 = {0, 15, 30, 45, 60, 90, ....}
M9 = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, ....}
M10 = {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, ....}
M15 ⋂ M9 ⋂ M90 = {0, 90, 180, …}
Cel mai mic dintre multiplii comuni nenuli ai numerelor 15, 9, 10 este 90, deci [15, 9, 10] = 90.
Capitolul 1 • Mulțimi. Mulțimea numerelor naturale
31

Cel mai mare divizor comun. Cel mai mic multiplu comun