L5
Proprietăți ale divizibilității în ℕ
Ne amintim
Numărul natural nenul a se divide la numărul natural b, dacă există un număr natural c astfel încât a = b · c .
Descoperim, înțelegem, exemplificăm
| Formularea proprietății | Cum scriem matematic | Exemple |
| Orice număr natural nenul a este divizibil cu el însuși. | a⋮a, oricare ar fi a ∈ ℕ*. | 1⋮1; 2⋮2; 3⋮3 … . |
| Dacă a și b sunt numere naturale, a este divizibil cu b și b este divizibil cu a, atunci cele două numere coincid. | Dacă a ∈ ℕ, b ∈ ℕ astfel încât a⋮b și b⋮a, atunci a = b. |
Din 7⋮p și p⋮7, rezultă p = 7.
Din 1⋮p și p ∈ ℕ, rezultă p = 1. |
| Dacă a, b, c sunt numere naturale, a este divizibil cu b și b este divizibil cu c, atunci a este divizibil cu c. | Dacă a ∈ ℕ, b ∈ ℕ, c ∈ ℕ astfel încât a⋮b și b⋮c, atunci a⋮c. |
Din p⋮6 și 6⋮3, rezultă p⋮3.
Din p⋮6 și 6⋮2, rezultă p⋮2. |
Știm să aplicăm, identificăm conexiuni
Proprietățile specifice relației de divizibilitate, descrise în tabelul de mai sus, conduc și la alte rezultate, considerate
proprietăți, cu ajutorul cărora înțelegem și rezolvăm cu mai multă ușurință probleme despre numere
naturale.
|
1.
Dacă numărul natural d este divizor comun al numerelor naturale a și b,
b ≤ a, atunci d este și divizor al numerelor a + b și a – b.
|
Dacă d | a și d | b, unde a, b, d ∈ℕ, b ≤ a, atunci d | (a + b) și d | (a – b). |
|
a)
Dacă numărul natural d divide suma numerelor naturale a și b, iar d este
divizor al unuia dintre termenii sumei, atunci d este și divizor al celuilalt
termen.
|
Dacă d | (a + b) și d | a, unde
a, b, d ∈ℕ, atunci d | b.
Dacă d | (a + b) și d | b, unde a, b, d ∈ℕ, atunci d | a. |
|
b)
Dacă numărul natural d divide diferența numerelor naturale a și b, iar d este
divizor al unuia dintre termenii diferenței, atunci d este și divizor al celuilalt
termen.
|
Dacă d | (a – b) și d | b, unde
a, b, d ∈ℕ, b ≤ a, atunci d | a.
Dacă d | (a – b) și d | a, unde a, b, d ∈ℕ, b ≤ a, atunci d | b. |
|
2.
a)
Dacă numărul natural a este divizor al produsului b · c, iar a și b sunt prime
între ele, atunci a este divizor al numărului c.
|
Dacă a, b, c ∈ ℕ, a | b · c și (a, b) = 1, atunci a | c. |
|
b)
Probați printr-un exemplu validitatea afirmației de la subpunctul a).
|
2 | 3 · x, x ∈ ℕ, (2, 3) = 1 rezultă 2 | x. |
Consultați manualul digital pentru a afla justificarea afirmațiilor de mai sus.
34
Matematică • Manual pentru clasa a VI-a
