Probleme rezolvate
1. a) Calculați c.m.m.d.c. al numerelor 120 și 180.
b) Comparați numerele 3120 și 2180, folosind rezultatul obținut la subpunctul a).
b) Comparați numerele 3120 și 2180, folosind rezultatul obținut la subpunctul a).
Soluție. a) 120 = 23 · 3 · 5,
Cum 9 > 8, obținem 960 > 860, adică 3120 > 2180.
180 = 22 · 32 · 5
(120, 180) = 22 · 3 · 5 = 60
b) 3120 = (32)60 = 960 și 2180 = (23)60 = 860.
Cum 9 > 8, obținem 960 > 860, adică 3120 > 2180.
2. a) Verificați egalitatea m · n = (m, n) · [m, n] pentru
m = 28 și n = 21.
b) Folosind afirmația m · n = (m, n) · [m, n], oricare ar fi numerele naturale m și n, justificați enunțul următor: „Cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale m și n, prime între ele, este produsul acestora.”
b) Folosind afirmația m · n = (m, n) · [m, n], oricare ar fi numerele naturale m și n, justificați enunțul următor: „Cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale m și n, prime între ele, este produsul acestora.”
Soluție.
a) (28, 21) = (22 · 7, 3 · 7) = 7; [28, 21] = 84;
(28, 21) · [28, 21] = 7 · 84 = 588 = 28 · 21.
b) Dacă m și n sunt prime între ele, atunci (m, n) = 1.
Cum m · n = (m, n) · [m, n], rezultă m · n = 1· [m, n], adică [m, n] = m · n.
a) (28, 21) = (22 · 7, 3 · 7) = 7; [28, 21] = 84;
(28, 21) · [28, 21] = 7 · 84 = 588 = 28 · 21.
b) Dacă m și n sunt prime între ele, atunci (m, n) = 1.
Cum m · n = (m, n) · [m, n], rezultă m · n = 1· [m, n], adică [m, n] = m · n.
Dacă m, n ∈ℕ și (m, n) = 1, atunci [m, n] = m · n.
3. Determinați numerele naturale n, 4 · n + 3 și 5 · n + 7 știind că toate sunt numere prime.
Soluție. Dacă 5 · n + 7 este număr prim, atunci acesta este impar. Cum 7 este impar, rezultă 5 · n este număr
par, deci n este par. Singurul număr prim par este n = 2. Se obțin numerele prime: 2, 11, 17.
Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm
1.
Un număr natural este divizibil cu 33. Determinați
restul împărțirii acestui număr la 3.
2.
Un autobuz are 36 de locuri.
a)
Determinați cel mai mic număr de curse care
trebuie făcute cu acest autobuz pentru a
transporta 144 persoane, așa încât fiecare călător
să ocupe un scaun.
b)
Determinați cel mai mic număr de curse care
trebuie făcute cu acest autobuz pentru a
transporta 444 persoane, așa încât fiecare călător
să ocupe un scaun.
3.
Demonstrați că:
a)
numărul 2 · 123 + 2 · 456 este divizibil cu 2;
b)
numărul 5 · 13 + 15 · 57 + 25 · 99 este multiplu
a numărului 5;
c)
numărul 4 divide numărul 4 · 123 + 44 · n, oricare
ar fi numărul natural n.
4.
Determinați:
a)
numerele naturale de forma 4x3y, divizibile cu
3 și cu 5.
b)
numerele naturale de forma 1x2y3x, divizibile
cu 4 și cu 9.
5.
a)
Demonstrați că numărul A = 12x + 3x4 + x56,
scris în baza 10, este divizibil cu 3, oricare ar fi
cifra x.
b)
Determinați cea mai mare valoare a lui x pentru
care A este divizibil cu 6.
6.
Demonstrați că nu există niciun număr natural
care împărțit la 4 dă restul 3 și împărțit la 6 dă
restul 4.
7.
Pentru elevii unei clase s-au cumpărat 127 de
caiete și 110 creioane, acestea distribuindu-se
în mod egal elevilor. Știind că în clasă sunt mai
mult de 10 elevi și că, după distribuire, au mai
rămas 2 creioane și un caiet, determinați numărul
elevilor din clasă.
8.
La școala în care învață Ioana sunt înscriși mai puțin
de 200 de elevi și aceștia pot fi împărțiți în grupe
de câte 18 elevi sau de câte 24 de elevi. Calculați
numărul elevilor înscriși la această școală.
9.
Determinați cel mai mic număr natural care,
împărțit la 25, la 45 respectiv la 50, dă de fiecare
dată restul 7.
Capitolul 1 • Mulțimi. Mulțimea numerelor naturale
35
