L3
Șir de rapoarte egale
Descoperim, înțelegem, exemplificăm
Trei sau mai multe rapoarte
Vom scrie
a1
/
b1
,
a2
/
b2
,
a3
/
b3
, ...,
an
/
bn
, cu b1 ≠ 0, b2 ≠ 0, b3 ≠ 0, …, bn ≠ 0,
care au aceeași valoare, formează un șir de rapoarte egale.
Vom scrie
a1
/
b1
=
a1
/
b2
=
a3
/
b3
= ... =
an
/
bn
Exemple
1
/
2
=
2
/
4
=
3
/
6
=
100
/
200
;
0,5
/
2
=
1
/
4
=
2
/
8
=
6
/
24
=
3
/
12
.
Știm să aplicăm, identificăm conexiuni
Problema 1
Sonia citește o carte de 98 de pagini, câte 14 pagini pe zi, Delia citește o carte de 147 de pagini, câte 21 de pagini
pe zi, iar Irina citește o carte de 84 de pagini, câte 12 pagini pe zi. Demonstrați că cele trei prietene termină
de citit în același număr de zile.
Victor, tatăl Irinei, își propune să citească toate cele trei cărți, citind în fiecare zi atâtea pagini câte citesc împreună cele trei fete într-o zi. Demonstrați că Victor va termina de citit în același număr de zile ca și fiica sa.
Rezolvare. Numărul zilelor în care o persoană termină de citit cartea este valoarea raportului dintre numărul total de pagini citite și numărul de pagini citite într-o zi.
| Sonia | Delia | Irina | Victor | |
| Număr total de pagini | 98 | 147 | 84 | 98 + 147 + 84 = 329 |
| Nr de pagini pe zi | 14 | 21 | 12 | 14 + 21 + 12 = 47 |
| Nr de zile în care termină cartea |
98
/
14
= 7
|
147
/
21
= 7
|
84
/
12
= 7
|
329
/
47
= 7
|
98
/
14
=
147
/
21
=
84
/
12
=
329
/
47
, toate având valoarea 7.
Cum 329 = 98 + 147 + 84, iar 47 = 14 + 21 + 12, șirul se poate scrie astfel:
98
/
14
=
147
/
21
=
84
/
12
=
98 + 147 + 84
/
14 + 21 + 12
.
Problema 1 probează, printr-un exemplu, următoarea proprietate a șirurilor de rapoarte egale.
Dacă
a1
/
b1
=
a2
/
b2
= ... =
an
/
bn
b1 ≠ 0, b2 ≠ 0, … bn ≠ 0 și b1 + b2 + … + bn ≠ 0 atunci
a1
/
b1
=
a2
/
b2
= ... =
an
/
bn
=
a1 + a2 + ... + an
/
b1 + b2 + ... + bn
.
Problema 2 Determinați numerele x, y și z cu proprietatea
Folosind proprietatea
x
/
2
=
y
/
12
=
z
/
6
, știind că x + y + z = 220.
x
/
2
=
y
/
12
=
z
/
6
=
x + y + z
/
2 + 12 + 6
, rezultă
x
/
2
=
y
/
12
=
z
/
6
=
220
/
20
= 11.
Atunci,
x
/
2
= 11,
y
/
12
= 11,
z
/
6
= 11, deci x = 22, y = 132, z = 66.
Problema 3 Diferența dintre două numere este 20. Determinați numerele, știind că sunt direct proporționale cu 4 și 9.
Rezolvare Fie a, b cele două numere. Din enunț,
a
/
4
=
b
/
9
= k. Din
a
/
4
= k și
b
/
9
= k, obținem a = 4 · k, respectiv
b = 9 · k. Avem b > a, deci b – a = 20, adică 9 · k – 4 · k = 20 ⇒ 5 · k = 20, de unde rezultă k = 4. Numerele sunt
a = 4 · 4 și b = 9 · 4, adică a = 16, b = 36.
44
Matematică • Manual pentru clasa a VI-a
