×

Cuprins:

Descoperim, înțelegem, exemplificăm
Două mărimi care cresc sau descresc, în același timp, de același număr de ori, se numesc mărimi direct proporționale. Viteza cu care se deplasează un vehicul și distanța parcursă într-un interval de timp dat.
Mulțimile finite, ordonate, de numere {a1 , a2 , a3 , …, an } și {b1 , b2 , b3 , …, bn } sunt în relație de proporționalitatea directă dacă se poate forma șirul de rapoarte egale
a1/b1
=
a2/b2
=
a3/b3
= ... =
an/bn
 Mulțimile {5; 7,5; 12} și {10; 15; 24} sunt în relație de direct proporționalitate pentru că
5/10
=
7,5/15
=
12/24
.
Valoarea nenulă comună a rapoartelor se numește raport de proporționalitate sau coeficient de proporționalitate și se notează, de regulă, cu k. Raportul de proporționalitate al mulțimilor ordonate din exemplul de mai sus este k = 0,5.
Două mărimi se numesc mărimi invers proporționale dacă, atunci când o mărime crește de un număr de ori, cealaltă mărime descrește de același număr de ori. Viteza cu care se deplasează un vehicul și timpul de parcurgere a unei distanțe date.
Mulțimile finite, ordonate, de numere {a1 , a2 , a3 , …, an } și {b1 , b2 , b3 , …, bn } sunt în relație de proporționalitate inversă dacă se poate forma șirul de produse egale = a1 ⋅b1 = a2 ⋅b2 = a3 ⋅b3 = ... = an ⋅bn . Mulțimile {3, 6, 15} și {10, 5, 2} sunt în relație de invers proporționalitate pentru că 3 · 10 = 6 · 5 = 15 · 2.
În rezolvarea multor probleme de aritmetică, informația potrivit căreia două mărimi sunt direct proporționale sau sunt invers proporționale este esențială.
Dicționar
Mulțime ordonată = mulțime ale cărei elemente sunt enumerate într-o anumită ordine.
Știm să aplicăm, identificăm conexiuni
Problemă rezolvată.
Numerele naturale a și b sunt direct proporționale cu 2 și 3, iar numerele b și c sunt invers proporționale cu 2 și 3.
a) Demonstrați că a = c.
b) Determinați cele trei numere, știind că a + 2 · b + 3 · c = 140.
Rezolvare
a) {a, b} și {2, 3} sunt în relație de proporționalitate directă, deci
a/2
=
b/3
⇔ 3 · a = 2 · b. (1)
{b, c} și {2, 3} sunt în relație de proporționalitate inversă, deci 2 · b = 3 · c. (2)
Din (1) și (2), rezultă 3 · a = 3 · c, adică a = c.
b) Din a + 2 · b + 3 · c = 140 și a = c, folosind (1), rezultă a + 3 · a + 3 · a = 140, adică 7 · a = 140 și obținem a = 20, c = 20, apoi 2b = 60, deci b = 30.
Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm
1. În fiecare din tabelele următoare sunt redate valori ale mărimilor A și B.
Precizați dacă acestea sunt mărimi direct proporționale. Justificați răspunsul dat.
a)
A 1 3 6 10 12,5
B 2 6 12 20 25
b)
A 2 4 5 15 20
B 6 12 15 40 60
Capitolul 2 • Rapoarte. Proporții
47

Proporționalitate directă

Mărimi direct și invers proporționale

Mărimi invers proporționale