Știm să aplicăm, identificăm conexiuni

Probleme rezolvate

1. Se dizolvă sare în apă și se obține o soluție cu concentrația de 8%. Calculați cantitatea de sare dizolvată, pentru obținerea a 500 g soluție.

Rezolvare. Notăm m_s masa sării dizolvate și m masa soluției.
c =

m_s /m

, deci

8/100

m_s /500

, adică m_s =

8 · 500/100

= 40 (g).

Răspuns: Se dizolvă 40 g de sare în 460 g de apă.

2. 400 g de aliaj aur-cupru are titlul 0,825. Determinați cantitatea de aur pe care trebuie să o adăugăm, pentru a obține un aliaj cu titlul 0,875.

Rezolvare. Fie m₁ masa aurului folosit pentru primul aliaj. Atunci,

m₁ /400

= 0,825, de unde m₁ = 400 · 0,825 = 330 (g).

Noul aliaj se formează prin adăugarea unei cantități x grame de aur. Atunci, masa aurului din noul aliaj este 330 + x, iar masa aliajului este 400 + x. Cum titlul aliajului este 0,875, obținem proporția

330 + x/400 + x

875/1000

⁽¹²⁵ , echivalentă cu

330 + x/400 + x

7/8

. Cu proporții derivate, obținem

330 + x/70

7/1

Din proprietatea fundamentală a proporției, putem scrie 330 + x = 490, deci x = 490 – 330 = 160 (g).

Răspuns: Se adaugă 160 g aur.

3. Scara unei hărți este 1: 400 000. Calculați distanța, pe teren, între două localități, știind că, pe hartă, aceasta este de 16 cm.

I. Evident distanța în teren și distanța pe hartă sunt mărimi direct proporționale. Folosind regula de trei simplă, avem: 1 cm ……………. 400 000 cm 16 cm ………………… x cm x = 16 · 400 000 = 6 400 000 (cm)

II. Folosind definiția scării unei hărți, scriem

1/400 000

16/x

. Termenul necunoscut al proporției este x = 16 · 400 000 = 6 400 000 (cm).
Răspuns: d = 6 400 000 cm = 64 km.

Observație. În multe situații practice, regula de trei simplă oferă mai multă siguranță în raționament.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm

1. Exprimați sub formă de raport procentual:

27/100

;

71/100

;

13/50

;

1/20

;

11/10

; 0,2; 1,75.

2. Scrieți ca rapoarte, exprimate prin fracții ordinare ireductibile: 50%, 80%, 17,5%, 120%.

3. Calculați:

a) 20% din 225 lei;

b) 35% din 440 litri;

c) 12,5% din 500 kg.

4. Determinați numărul cu 25% mai mare decât 300.

5. Ioana a avut 300 de lei, din care a cheltuit 20%.

a) Calculați suma de bani cheltuită de Ioana.

b) Exprimați ca raport procentual suma care i-a rămas Ioanei.

6. După ce s-au vândut 40% din numărul biletelor pentru o reprezentație la teatru, au mai rămas 120 de bilete nevândute. Determinați numărul biletelor care au fost puse în vânzare pentru această reprezentație.

7. Calculați concentrația soluției obținute dacă:

a) în 175 g de apă se dizolvă 25 g de sare;

b) se dizolvă 20 g de sare în 140 g de apă.

8. Completați spațiile libere pentru a obține propoziții adevărate.

a) Prin dizolvarea a 45 g de zahăr în apă, s-au obținut 450 g de soluție. Concentrația acestei soluții este de …%.

b) În 450 g de apă se dizolvă 50 g de zahăr. Concentrația soluției obținute este …%.

Matematică • Manual pentru clasa a VI-a

Cuprins: