Fiecare număr natural nenul n se reprezintă pe axă prin punctul M(n), situat la exact n unități de măsură de
origine, în dreapta acesteia.
Numărul natural n se va nota + n și se va numi număr întreg pozitiv.
Punctul M’, simetricul punctului M(n) față de O, este situat la exact n unități de măsură de origine, dar în stânga ei. Numărul corespunzător punctului M’ se notează – n și se numește opusul numărului n.
Numărul – n este număr întreg negativ. Vom spune că M’ are coordonata –n și scriem M’(–n).
Numărul natural n se va nota + n și se va numi număr întreg pozitiv.
Punctul M’, simetricul punctului M(n) față de O, este situat la exact n unități de măsură de origine, dar în stânga ei. Numărul corespunzător punctului M’ se notează – n și se numește opusul numărului n.
Numărul – n este număr întreg negativ. Vom spune că M’ are coordonata –n și scriem M’(–n).
În acest fel, mulțimea numerelor naturale nenule se identifică cu mulțimea numerelor întregi pozitive care se
notează cu ℤ+, iar mulțimea formată cu opusele tuturor numerelor naturale nenule se numește mulțimea
numerelor întregi negative și se notează cu ℤ – .
Prin urmare, ℤ+ = {+1, +2, +3, …, +n, +(n+1), …} ={1, 2, 3, …, n, (n + 1), …} = ℕ*.
ℤ – = {…, – (n + 1), –n, …, –3, –2, – 1}.
ℤ – = {…, – (n + 1), –n, …, –3, –2, – 1}.
Mulțimea formată cu toate numerele întregi pozitive, toate numerele întregi negative, la care se adaugă
numărul 0, se numește mulțimea numerelor întregi și se notează cu ℤ.
Prin urmare, ℤ = ℤ+⋃ ℤ– ⋃ {0} = {…, –(n + 1), –n, …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …, n, (n + 1), …}
Prin urmare, ℤ = ℤ+⋃ ℤ– ⋃ {0} = {…, –(n + 1), –n, …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …, n, (n + 1), …}
Observații.
Numărul 0 nu este nici pozitiv nici negativ. Considerăm + 0 = –0 = 0. ℕ ⊂ ℤ și ℕ*= ℤ+.
În practică, numerele pozitive se folosesc adesea fără semn, adică + 1 se scrie 1, + 2 se scrie 2 și așa mai departe.
Când vorbim de un număr întreg a, acesta poate fi pozitiv și scriem a > 0, poate fi negativ și scriem a < 0, sau poate fi egal cu 0 și scriem a = 0.
Când vorbim de un număr întreg a, acesta poate fi pozitiv și scriem a > 0, poate fi negativ și scriem a < 0, sau poate fi egal cu 0 și scriem a = 0.
Știm să aplicăm, identificăm conexiuni
|
Exemple.
În imaginea alăturată, pe axa numerelor, sunt
reprezentate mai multe numere întregi.
|
|
|
| Două puncte situate pe axă, simetric față de originea acesteia, au coordonatele numere întregi opuse. |
Puncte simetrice față de origine:
A(1) și A′(–1); B(2) și B′(–2); C(3) și C′(–3); D(4) și D’(–4). |
Numere întregi opuse:
1 și –1; 2 și –2; 3 și –3; 4 și –4. |
|
Dacă a este număr întreg nenul, numerele
întregi a și –a sunt opuse.
Numărul a este opusul numărului –a, iar numărul –a este opusul numărului a. |
–1 este opusul lui 1 și 1 este opusul lui –1;
–2 este opusul lui 2 și 2 este opusul lui –2; –3 este opusul lui 3 și 3 este opusul lui –3; –4 este opusul lui 4 și 4 este opusul lui –4. |
|
Observație.
Opusul numărului întreg 0 este 0 însuși.
Opusul numărului întreg a se notează –a.
Dacă a este pozitiv, atunci –a este negativ, iar dacă a este negativ, atunci –a este număr pozitiv.
Opusul numărului întreg a se notează –a.
Dacă a este pozitiv, atunci –a este negativ, iar dacă a este negativ, atunci –a este număr pozitiv.
Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm
1.
Completați în caseta liberă A, dacă propoziția
este adevărată și F, dacă propoziția este falsă.
| Propoziția | A/F |
| −13 ∈ ℤ | |
| 7 ∈ ℤ | |
| −6 ∉ ℕ | |
| −24∈ℤ- |
| Propoziția | A/F |
| 2,75 ∈ ℤ | |
| {−4; 0; 11}⊂ ℤ | |
| {−3; 1; +3}⊂ ℕ | 33∉ ℤ+ |
2.
Se consideră mulțimea
M =
2; -4;
.
M =
2; -4;3/2
; 0; -25; +25; 6, (2); 12/4
.
a)
Scrieți mulțimea formată cu numerele întregi
negative ale mulțimii M.
b)
Scrieți mulțimea formată cu numerele întregi
pozitive ale mulțimii M.
c)
Determinați mulțimea M ∩ ℤ.
Capitolul 3 • Mulțimea numerelor întregi
65