Pe axa numerelor, reprezentăm punctele O(0), A(1), A′(– 1), B(a), B′(– a), cu a număr întreg pozitiv și C(b), C′(– b), cu b număr întreg negativ.

Atunci: | 0 | = 0 (distanța de la O la el însuși este 0).
Cum OA′ = OA = 1, rezultă | –1| = | 1 | = OA = 1;
Cum OB′ = OB = a, rezultă | –a| = | a | = OB = a;
Cum OC = OC′ = –b, rezultă | –b| = | b | = OC′ = –b.

Observații.

1. Numerele întregi a și – a au același modul pentru că sunt reprezentate pe axă la aceeași distanță de origine.

2. Orice distanță este exprimată printr-un număr pozitiv sau este 0, deci modulul oricărui număr întreg este un număr pozitiv sau este 0.

Concluzii.

1. | x | > 0, oricare ar fi x ∈ℤ* și | x | = 0, dacă și numai dacă x = 0.

2. | x | = x, dacă și numai dacă x ≥ 0 și | x | = –x, dacă și numai dacă x ≤ 0.

3. | –x | = | x |, oricare ar fi x ∈ℤ.

Pentru orice două numere întregi a și b, are loc una și numai una dintre relațiile: a < b, a = b, a > b.
A compara numerele întregi a și b înseamnă a stabili care dintre cele trei relații de mai sus are loc.

Dacă a ∈ℤ și b∈ℤ și dacă reprezentarea pe axă a numărului a este punctul A, iar reprezentarea numărului b este punctul B, atunci:

a < b dacă și numai dacă punctul A(a) este situat în stânga punctului B(b).
a = b dacă și numai dacă punctele A(a) și B(b) coincid.
a > b dacă și numai dacă puntul A(a) este situat în dreapta punctului B(b).

Pentru a și b nenule cu a < b sunt posibile situațiile:

Reprezentare pe axă	Descriere	Concluzie
	O(0) este situat în stânga lui A(a), deci 0 este mai mic decât a. Scriem 0 < a sau a > 0.	a ∈ℤ_– ⇔ a ∈ℤ și a < 0.
		–1; –2; –3; –10 ∈ ℤ– –1 < 0; –2 < 0; –3 < 0; –10 < 0.
	A(a) este situat în stânga lui O(0), deci a este mai mic decât 0. Scriem a < 0 sau 0 > a.	a ∈ℤ₊ ⇔ a ∈ℤ și a < 0.
		30 ∈ ℤ₊ și 47 ∈ ℤ₊ 30 < 47 și \| 30 \| < \| 47 \|.
	a > 0, b > 0. OA < OB, deci \| a \| < \| b \|. A(a) este în stânga lui B(b), deci a < b.	Dacă a ∈ℤ₊ și b∈ℤ₊ , atunci: a < b dacă și numai dacă \| a \| < \| b \|.
		30 ∈ ℤ₊ și 47 ∈ ℤ₊ 30 < 47 și \| 30 \| < \| 47 \|.
	a < 0, b < 0. OA > OB, deci \| a \| > \| b \|. A(a) este în stânga lui B(b), deci a < b.	Dacă a ∈ℤ_– și b∈ℤ_– , atunci: a < b dacă și numai dacă \| a \| > \| b \|.
		-30 ∈ ℤ_- și 47 ∈ ℤ_- -47 < -30 și \| -47 \| > \| –30 \|.
	a < 0, b > 0. A(a) este în stânga lui B(b), deci a < b.	Dacă a ∈ℤ_– și b∈ℤ₊ , atunci a < b. Orice număr negativ este mai mic decât orice număr pozitiv.
		-30 ∈ ℤ_- și 47 ∈ ℤ₊ -30 < 47 și 30 ∈ℤ₊ rezultă –47 < 30.

Capitolul 3 • Mulțimea numerelor întregi

Cuprins: